线性代数难题1,已知A、B为n阶方阵,P、Q为可逆方阵,若B=AQ,则A的列向量组与B的列向量组等价

线性代数难题1,已知A、B为n阶方阵,P、Q为可逆方阵,若B=AQ,则A的列向量组与B的列向量组等价

设B=(β1,β2…βn) A=(α1,α2…αn) Q的第i列向量为（a1i,a2i,…,ani)由B=AQ可得B的第i列向量βi=α1*a1i+α2*a2i+…+αn*ani这就表明βi可以被αi线性表示,也就是A的列向量可以被B的列向量线性表示由于Q可逆,所以A=BQ^-1同理可得αi可以被βi线性表示即B的列向量和A的列向量可以互相线性表示,则A的列向量组与B的列向量组等价.2.设A为m*n矩阵,B为n*s矩阵B=(β1,β2…βs)由AB=0可得(Aβ1,Aβ2…Aβs)=(0,0…0）即Aβi=0,由于B≠0∴至少有一个βi≠0,即AX=0有非零解 ∴r(A)＜n（n为列向量个数,也是解得个数）∴A的列向量线性相关

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