1.试讨论方程f(x)=0在（0,正无穷）上的根的个数,并求出相应的a的取值范围

1.试讨论方程f(x)=0在（0,正无穷）上的根的个数,并求出相应的a的取值范围

f'(x)=x^2-2(a+1)x+4a=(x-2)(x-2a)=0,得极值点x=2,2a因为a>1,f(x)在（0,2）递增,在（2,2a)递减,在（2a,+∞)递增f(2)为极大值,f(2a)为极小值f(0)=24a>0f(2)=8/3-4(a+1)+8a+24a=28a-4/3>0f(2a)=-4a^3/3+4a^2+24a=-4a/3*(a-6)(a+3)若16,则f(2a)======以下答案可供参考======供参考答案1:f(x)=(x^3)/3-(a-1)x^2+4ax+24af'(x)=x^2-2(a+1)x+4a令：f'(x)=0即：x^2-2(a+1)x+4a=0解此方程，有：x={2(a+1)±√[4(a+1)^2-16a]}/2整理：x=a+1±(a+1)解得：x1=2(a+1)＞0、x2=0f(0)=24a＞0f(2(a+1))=8[(a+1)^3]/3-4(a+1)^3+4a(a+1)+24a=-4[(a+1)^3]/3+4a^2+28a=(-4a^3-12a^2-12a-4+12a^2+84a)/3=(-4a^3+72a-1)/3令：f(2(a+1))＜0有：-4a^3+72a-1＜04a^3-72a+1＞04a(a^2-18)＞-1a^2-18＞-1/4a^2＞71/4a＞(√71)/2即：当a＞(√71)/2时，f(2(a+1))＜0，此时f(x)在x∈(0，∞)上，有一个根；当a≤(√71)/2时，f(2(a+1))≥0，此时f(x)在x∈(0，∞)上，没有根。

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