求二次函数上的线段长度

求二次函数上的线段长度
y=x^2,在x在0-1之间,求那段曲线长（最好用微积分或者求和）
求根号1+根号2+根号3+根号4……+根号n 用n表示

y=x^2,y'=2x
曲线长=∫(0,1) √(1+y'^2)dx
=∫(0,1)0.5√(1+(2x)^2)d(2x)
=0.5x√(4x^2+1)+0.25*ln[2x+√(4x^2+1)]
=0.5√5+0.25ln(2+√5)
Sn=√1+√2+√3+...+√n
除了逐项累加之外,没有简单的式子可以表示其准确和
但可用欧拉-麦克劳林求和公式得到其相当准确的近似值：
Sn=2n√n/3+√n/2+1/[24√n]-5/24
比如S100~2*100*10/3+10/2+1/240-5/24=671.4625.
其准确值为：671.4629471
再问： 为什么是y‘2，什么原理讲一下，我是初学者
再答： 这是因为曲线上每一小段弧长ds,与dx,dy组成一个直角三角形。 ds=√[(dx)^2+(dy)^2] 提出dx，则有：ds=√(1+y'^2) dx 再积分就得到曲线长度了。

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