函数y=f（x）的定义域为R，若存在常数M＞0，使得|f（x）|≥M|x|对一切实数x均成立，则称f（x）为“圆锥托

函数y=f（x）的定义域为R，若存在常数M＞0，使得|f（x）|≥M|x|对一切实数x均成立，则称f（x）为“圆锥托底型”函数．（1）判断函数f（x）=2x，g（x）=x3是否为“圆锥托底型”函数？并说明理由．（2）若f（x）=x2+1是“圆锥托底型”函数，求出M的最大值．（3）问实数k、b满足什么条件，f（x）=kx+b是“圆锥托底型”函数．

（1）∵|2x|=2|x|≥2|x|，即对于一切实数x使得|f（x）|≥2|x|成立，
∴f（x）=2x是“圆锥托底型”函数．…（2分）
对于g（x）=x3，如果存在M＞0满足|x3|≥M|x|，而当x＝




M
2 时，由|




M
2 |3≥M|




M
2 |，
∴
 M
2 ≥M，得M≤0，矛盾，
∴g（x）=x3不是“圆锥托底型”函数．…（5分）
（2）∵f（x）=x2+1是“圆锥托底型”函数，故存在M＞0，使得|f（x）|=|x2+1|≥M|x|对于任意实数恒成立．
∴当x≠0时，M≤|x+
1
x |=|x|+
1
|x| ，此时当x=±1时，|x|+
1
|x| 取得最小值2，∴M≤2．…（9分）
而当x=0时，|f（0）|=1≥M|0|=0也成立．
∴M的最大值等于2．…（10分）
（3）①当b=0，k=0时，f（x）=0，无论M取何正数，取x0≠0，则有|f（x0）=0＜M|x0|，
f（x）=0不是“圆锥托底型”函数．…（12分）
②当b=0，k≠0时，f（x）=kx，对于任意x有|f（x）|=|kx|≥|k||x|，此时可取0＜M＜k|，
∴f（x）=kx是“圆锥托底型”函数．…（14分）
③当b≠0，k=0时，f（x）=b，无论M取何正数，取|x0|＞
|b|
M ．有|b|＜M|x0|，
∴f（x）=b不是“圆锥托底型”函数．…（16分）
④当b≠0，k≠0时，f（x）=kx+b，无论M取何正数，取x0=?
b
k ≠0，有|f（x0）|=0≤M|x0|，
∴f（x）=kx+b不是“圆锥托底型”函数．
由上可得，仅当b=0，k≠0时，f（x）=kx+b是“圆锥托底型”函数．…（18分）

是的。 解释： 令f（x）=m|x|-|f(x)|=m|x|-|sin^x|=m|x|-sin^x 则f（x）为偶函数，且f（0）=0。 当x=0时，显然满足要求。 由于是偶函数，所以，只需要考虑x为正数！ 令x＞0.则： f（x）=mx-sin^x，对其求导： f'（x）=m-2sinxcosx=m-sin2x 这时候，只需要令m≥1，则有 f'（x）=m-2sinxcosx=m-sin2x≥1-sin2x≥0 此时，f（x）在（0，+∞）上为增函数，最小值为f(0)=0 即f(x)≥0恒成立。满足要求。 故取m≥1即可满足，即存在这样的m。 所以f(x)=sin^x是b函数！

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