求函数值域有多少种方法？

试举例说明

值域：1.根据单调性
2.求反函数，看反函数的定义域
3.利用不等式（最常用的是均值，慎用，需考虑各项正负和取等条件）
4.复合函数中，利用已知函数值域求未知函数值域
5.换元法（通常是三角换元，换元时注意换与被换两者的范围一定要相同）
6.利用几何性质（比如斜率，两点间距离之类的）

1观察法 1.1根据函数的定义域以及对应法则观察得到它的值域 例1：函数y＝a＋bx+c(a，b，c均为常数，且b≠0)的值域为［a,＋∞）； 函数y＝a-bx+c (a，b，c均为常数，且b≠0)的值域为（-∞，a］. 1.2根据函数的定义，有的函数可用例举法或简单的计算得出它的值域 例2：狄里赫雷函数y＝1(x为有理数） 0（x为无理数）的值域是。{0，1} 例3 求函数f(n)＝sin(nπ3) (n∈z)的值域。 解：∵n∈Z,设n＝6R+r，（R∈Z，r=0,1,2,3,4,5） ∵f(n)=sinnπ3=sin13(6R+r)π=sin2kπ+r3π=6sinrπ3, 当r依次取0，1，2，3，4，5时，f(n)的值依次是0，32，32，0，-32，-32 ∴函数f(n)＝sinnπ3的值域是-32,0,32。 1.3根据函数的基本性质，求出函数的值域 例4 求指数函数y＝33-x2的值域。 解：∵3－x2≤3,且3＞1∴0＜33-x2≤33 即0＜y≤27 ∴函数y＝33-x2的值域是［0,27］。 例5 求函数y=cos2x-4cosx+6的值域。 解：y=cos2x-4cosx+6=(cosx-2）2+2 ∵-1≤cosx≤1, ∴-3≤cosx-2≤-1, ∴1≤(cosx-2)2≤9 ∴3≤y≤11 即函数的值域是［2,10］。 2反函数法 若所求函数的反函数存在，利用原函数和它的反函数的定义域和值域关系，通过反函数的定义域，而求得原函数的值域。 例6 求函数y=3x+22x-5的值域。 解：由2x－5≠0 可知这个函数的定义域是x≠52,由y=3x+22x-5，得x=2+5y2y-3， 　　∵函数x=2+5y2y-3的定义域是y≠32，∴函数y=3x+22x-5的值域是y≠32的一切实数。 3图象法 　　利用函数的图象，直观地得出函数的值域 例7 求函数y＝｜x-3｜-｜x+1｜的值域。 解：y＝｜x-3｜-｜x+1｜ ＝-4,(x3) 2-2x,(-1<x<3)由图象可知， 值域为y∈［-4,4］ 4,(x-1) 由图象可知，值域为y∈［-4，4］。 4换元法 　　有些函数结构比较复杂，运算时可采用代数和三角代换，将所给出函数转化成值域容易确定的另一个函数，从而求出原函数的值域。一般针对：y=ax＋b＋cx+d (a，b，c，d均为常数且ac≠0)形式的函数 4.1 代数换元 例8求函数y=2x-3+4x-13的值域。 解：由4x-13≥0 可知这个函数的定义域为x≥134, 令4x-13=t (t≥0), 则y=12(4x-13)+4x-13+72=12t2+t+72=12(t+1)2+3∵≥0,∴12(t+1)2≥12∴y≥12＋3＝72 ∴函数y=2x-3+4x-13的值域是y∈72,+∞ 4.2三角换元 例9 求函数y=x5-x2 的值域。 解：∵函数 y=x＋5-x2的定义域为｜x｜≤5，设x＝5sina，a∈-π2,π2 则y＝5sina＋5-5sin2a－5(sina+cosa)＝10sina+π4, ∵-π2≤a≤π2∴-π4≤a＋π4≤34π, 则-22≤sina+π4≤1 ∴-5 ≤y≤10， 即函数的值域为{y｜-5y10}。 5最值法 对区间内的连续函数可通过求函数的最大、最小的方法求值域 例10 求函数y=3-2x-x2 的值域。 解：由3-2x-x2≥0，解出定义域为［-3，1］。 函数y在［-3，1］内是连续的，在定义域内由3-2x-x2 的最大值为4，最小值为0。 　　∴函数的值域是［0,2］ 　　以上所举的例题只是几种常用的求函数值域的方法。这些方法分别具有极强的针对性，每一种方法又不是万能的。要顺利解答求函数值域的问题，必须熟练掌握各种技能技巧，根据特点选择求值域的方法。

1.二次函数，画图求最大（最小）值

2.求出函数的单调性和定义域

3.如y=x/ax+k,用反解

最常用 分离常数法！

这要看你自己的总结了！别总问这种问题！学习还得靠自己！

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