已知椭圆的焦点在x轴上，短轴长为4，离心率为 5 5 ．（1）求椭圆的标准方程；

已知椭圆的焦点在x轴上，短轴长为4，离心率为 5 5 ．（1）求椭圆的标准方程； （2）若直线L方程为y=x+1，L交椭圆于M、N两点，求|MN|的长．

（1）设椭圆方程为
x 2
a 2 +
y 2
b 2 =1 （a＞b＞0），
由椭圆短轴长为4得2b=4，解得b=2，
由离心率为



5
5 ，得
c
a =



5
5 ，即a 2 =5c 2 =5（a 2 -4），解得a 2 =5，
所以椭圆的标准方程为
x 2
5 +
y 2
4 =1 ；
（2）由






y=x+1

x 2
5 +
y 2
4 =1 得9x 2 +10x-15=0，
设M（x 1 ，y 1 ），N（x 2 ，y 2 ），则 x 1 + x 2 =-
10
9 ， x 1 x 2 =-
5
3 ，
所以|MN|=


2 ? |x 1 -x 2 |=


2 ?


( x 1 + x 2 ) 2 -4 x 1 x 2 =


2 ?


(-
10
9 ) 2 -4(-
5
3 ) =
16


5
9 ；

解：由题设，椭圆的标准方程为：x²/a²+y²/b²=1 因为，2b=4, e=c/a=根号5/5 所以，b=2 , 令： c=k, 则，a=(根号5)k (k≠0) 所以，c²=k² a²=5k² 因为， a²=b²+c² 所以，5k²=2²+k² 所以，k²=1 所以，所求的椭圆标准方程为：x²/5+y²/4=1

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