已知数列{an}的各项均大于1，前n项和Sn满足2Sn＝a2n+n?1．（Ⅰ）求a1及数列{an}的通项公式；（Ⅱ）记bn＝

已知数列{an}的各项均大于1，前n项和Sn满足2Sn＝a2n+n?1．（Ⅰ）求a1及数列{an}的通项公式；（Ⅱ）记bn＝1a2n?1，求证：b1+b2+…+bn＜34．

（Ⅰ）解：n=1时，2S1＝
a 2
1
，
∵a1＞1，∴a1=2…（1分）
当n≥2时，2Sn＝
a 2
n
+n?1①，
2Sn?1＝
a 2
n?1
+n?2②
两式相减得2Sn?2Sn＝
a 2
n
?
a 2
n?1
+1，
∴2an＝
a 2
n
?
a 2
n?1
+1…（4分）
整理得(an?1)2＝
a 2
n?1
，
∴（an-an-1-1）（an+an-1-1）=0，
∵an＞1，∴an+an-1-1≠0
∴an-an-1-1=0（n≥2），…（6分）
∴{an}是首项和公差均为1的等差数列，
∴an=n+1…（7分）
（Ⅱ）证明：∵an=n+1，
∴bn＝
1
n2+2n ＝
1
2 (
1
n ?
1
n+2 )…（9分）
故b1+b2+…+bn＝
1
2 [(1?
1
3 )+(
1
2 ?
1
4 )+(
1
3 ?
1
5 )+…+(
1
n?1 ?
1
n+1 )+(
1
n ?
1
n+2 )]…（11分）
=
1
2 (1+
1
2 ?
1
n+1 ?
1
n+2 )＜
3
4 ．
∴b1+b2+…+bn＜
3
4 ．…（14分）

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