如何推导圆台、球、圆锥体积的计算公式
- 提问者网友：雪舞兮
- 2021-05-09 18:41
- 五星知识达人网友：woshuo
- 2021-05-09 19:09
(√为根号,表示开平方.)
圆台体积公式为V=(1/3)H[S'+√(SS')+S]
证明:将上底面积为S',下底面积为S,高为H的园台的母线延长,得
一顶点为P的完整的园锥P-S,设延长部分的高为X,那么,园台的体
积V=(1/3)(H+X)S-(1/3)*XS'=(1/3)HS+(1/3)X(S-S')..(1)
现在我们设法把(1)式右边的X用已知量H,S,S'来表示它.在园锥
P-S中,S'‖S,∴S/S'=(H+X)^2/X^2.
两边同时开平方并取正值得
√S/√S'=(H+X)/X
依分比定理有
(√S-√S')/√S'=H/X
将上式左端的分子和分母同乘以(√S+√S'),得
(S-S')/[S'+√(SS')]=H/X
故X=H[S'+√(SS')]/(S-S')...............(2)
将(2)代入(1)式的右边并整理,即得
v=(1/3)H[S'+√(SS')+S]
半径为R的球体积为V=4/3πR^3
如图
圆的方程为：x^2+y^2=R^2，现在将该圆绕x轴（或者y轴）旋转一圈，就得到半径为R的球，那么旋转体的体积就是球体的体积
对应于x轴上，在[x,x+dx]的区间，它绕x轴旋转一圈，得到一个半径为y=√[R^2-x^2]，高为dx的圆柱体，它的体积为dv=πy^2dx=π(R^2-x^2)dx，以此为积分变量，那么就有：
V=∫(-R,R)π[√[R^2-x^2]^2*dx
=∫(-R,R)π(R^2-x^2)dx
=∫(-R,R)πR^2dx-∫(-R,R)πx^2dx
=πR^2(x)|(-R,R)-(π/3)(x^3)|(-R,R)
=πR^2*[R-(-R)]-(π/3)*[R^3-(-R)^3]
=2πR^3-(π/3)*2R^3=2πR^3-(2π/3)R^3
=(4π/3)R^3
此即为旋转体的体积，亦即球体的体积
圆锥体积公式：
V＝1/3Sh（V＝1/3SH）
S是底面积，h是高，r是底面半径。
设圆锥高为h，底部半径为r，把圆锥等分为k份，每份看做一个小圆柱。
则第n份圆柱的高为h/k, 半径为n*r/k。
则第k份圆柱的体积为h/k*pi*(n*r/k)^2=Pi*h*r^2*n^2/k^3
总的体积为Pi*h*r^2*(1+2^2+3^2+...+k^2)/k^3
而1+2^2+3^2+...+k^2=k*(k+1)*(2k+1)/6
则总体积为Pi*h*r^2*(1+1/k)*(2+1/k)/6
K越大，这个总体积越接近于圆锥的体积。
当K为无穷大时，则1/k等于0。即总体积为Pi*h*r^2/3,即为圆柱体积的三分之一。
这里分别用了三种方法，圆台是直接计算，球是用微分，圆锥是用极限法。