一道初中数学题，解得者必有重赏~

如图，△ABC中，AD平分∠BAC,E,F分别是AB,AC上的点，且∠AED+∠AFD=180°。 （1）求证：DE=DF。 （2）若把（1）的求证DE=DF换成条件，把条件∠AED+∠AFD=180°换成结论，仍能成立吗？说明理由。 好心人帮帮忙，这道题想了好久都没想出来~

我的解答 包你 正确 明白 简洁

方法一】

1】 在AC上 取G点，使得 AG=AE，则 △AGD≌△AED ， DE=DG 。 ∠AGD=∠AED。

由 已知 互补关系 的 ∠AGD+ ∠AFD =∠AED+∠AFD =180 =∠AFD+∠DFG

所以 ∠AGD=∠DFG ， 所以 DF=DG =DE 。

2】 交换条件与结论， 不成立。

只要取△AED≌△AFD，就有DE=DF， 但 ∠AED+∠AFD= 2∠AED不一定等于180°。

方法二】

初三 四点共圆法

1】 因为 四边形AEDF对角互补，所以 A，E，D，F四点共圆。

∠DAE=∠DAF， 所以 弧ED=弧FD

所以 DE=DF （同园中，等弧对等角对等弦）

2】 不成立。 等线段不一定四点共圆。

不会

先作DN垂直AB于点N，DM垂直AC于点M. 知三角形DEN,DFM是直角三角形，角DNE+DEN+EDN+DFM+DMF+MDF=360，因为DEN+DFM=180,DNE+DMF=180，所以END=FDM=0，N与E，M与F是同一点

因为 ∠EDF+∠EAF=180 所以 ∠AED+∠AFD=180 因为AD是∠BAC的平分线 所以∠EAD=∠FAD 因为∠EAD=∠FAD,∠EDF+∠EAF=∠AED+∠AFD=180 所以AD也是∠EDF的平分线 所以∠EDA=∠FDA 因为∠EAD=∠FAD ∠EDA=∠FDA AD是∠BAC ∠EDF的平分线 所以三角形AED相等三角形AFD 所以DE等于DF

1)过D作DM⊥AB于M,DN⊥AC于N

∵AD平分∠BAC

∴DM=DN(角平分线上的点到角两边距离相等)

∵∠AED+∠AFD=180°,∠AFD+∠DFN=180°

∴∠AED=∠DFN

∵∠DME=∠DNF=90°

∴△DME≌△DNF(AAS)

∴DE=DF

2)不一定,可能是∠AED=∠AFD

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