函数零点的求证

设函数f(x)=ax^2+bx+c(a,b,c属于R)，且f(1)=-a/2,3a>2c>2b. 求证：函数f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点。

f（1)＝－a/2,即a＋b＋c=－a/2,则3a+2b+2c=0
由3a＞2c＞2b，3a+2b+2c=0，则3b+2b+2b<0，所以b＜0
3a+2b+2c=0，则3a+2a+2a>0，即a＞0
a＞0，b＜0
要证明f（x）＝0至少有一个根在（0,2）内，即只需证f（0）f（2）＜0
则f（0）f（2）=c（4a+2b+c）而c=-（3a+2b）/2
所以f（0）f（2）=-（3a+2b）/2{4a+2b +(-（3a+2b）/2)}
=-1/4（15 a²+4b²+16ab）
=-1/4 （3a+2b）（5a+2b）
=-1/4 （3a+2b）（a+4a+2b）
因为可推出3a+2b＞0 ，4a+2b＞0，所以a+4a+2b＞0，
所以f（0）f（2）＜0

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