已知：在△ABC中，∠CAB和∠ABC的平分线AD、BE交于点P．（1）当△ABC为等边三角形（如图1）时，求证：EP=

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解决时间 2021-11-19 07:53

提问者网友：浮克旳回音
2021-11-19 01:35

最佳答案

五星知识达人网友：掌灯师
2021-11-19 02:42

证明：（1）∵△ABC为等边三角形，AD平分∠CAB，∴PD⊥BC，（1分）
同理，PE⊥AC，
作PH⊥AB于H，（1分）
∵AD平分∠CAB，PE⊥AC，∴PE=PH（1分）
同理PD=PH
∴PD=PE（1分）

（2）EP=DP依然成立．（1分）
证明：不妨设∠CAB＜∠CBA
作PH⊥AC于H，PM⊥CB于M，PQ⊥AB于Q，
则点H在线段CE上，点M在线段BD上
∵∠CAB和∠ACB的平分线AD、BE交于点P，∴PH=PQ=PM，（1分）
∵∠ACB+∠CAB+∠ABC=180°，∠ACB=60°，
∴∠CAB+∠ABC=120°，（1分）
∵AD、BE分别平分∠CAB、∠ABC，
∴∠PAB+∠PBA=60°，（1分）
∵∠CEP=∠CAP+∠PAB+∠PBA=∠CAP+60°，
∠ADB=∠CAP+∠ACD=∠CAP+60°，
∴∠CEP=∠ADB，（1分）
在△PHE和△PMD中，∠HEP=∠MDP，∠EHP=∠DMP=90°，PH=PM，
∴△PHE≌△PMD，（1分）
∴PE=PD
（不同方法请相应给分）

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