AB为椭圆x^2/b^2 +y^2/a^2=1(a>b>0)的一条弦 P为线段AB的中点 求证KAB*KOP 为定值

AB为椭圆x^2/b^2 +y^2/a^2=1(a>b>0)的一条弦 P为线段AB的中点 求证KAB*KOP 为定值

首先说下，AB必须有前提：AB不平行x，y轴，否则都不存在了斜率了
设直线为：y=kx+c（不平行x，y轴）
联立椭圆b^2x^2+a^2y^2-a^2b^2=0和直线y=kx+c得到：
b^2x^2+a^2(kx+c)^2-a^2b^2=0
===> b^2x^2+k^2a^2x^2+2a^2kcx+a^2(c^2-b^2)=0
===> (b^2+k^2a^2)x^2+2a^2kcx+a^2(c^2-b^2)=0
所以：x1+x2=-2a^2kc/(b^2+k^2a^2)
所以，P点的横坐标为：Px=(x1+x2)/2=-a^2kc/(b^2+k^2a^2)
又：
y1=kx1+c
y2=kx2+c
所以：y1+y2=k(x1+x2)+2c=[-2a^2k^2c/(b^2+k^2a^2)]+2c
=[-2a^2k^2c+2b^2c+2k^2a^2c]/(b^2+k^2a^2)
=2b^2c/(b^2+k^2a^2)
所以，点P的纵坐标Py=(y1+y2)/2=b^2c/(b^2+k^2a^2)
所以：
KOP=(Py-0)/(Px-0)=Py/Px=[b^2c/(b^2+k^2a^2)]/[-a^2kc/(b^2+k^2a^2)]
=-b^2/(a^2k)
所以：
KAB*KOM=k*[-b^2/(a^2k)]=-b^2/a^2
为定值
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设椭圆的参数方程为x=acost,y=bsint
令A（acost1,bsint1) B(acost2,bsint2),P(a(cost1+cost2)/2,b(sint1+sint2)/2)
Kab=b(sint1-sint2)/a(cost1-cost2) Kop=b(sint1+sint2)/a(cost1+cost2)
Kab*kOP=b²(sin²t1-sin²t2)/a²(cos²t1-cos²t2)=b²(1-cos²t1-1+cos²t2)/a²(cos²t1-cos²t2)=-b²/a²

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