已知函数f（x）=lnx-x+a有且只有一个零点，其中a＞0．（1）求a的值；（2）若对任意的x∈（1，+∞），有（

已知函数f（x）=lnx-x+a有且只有一个零点，其中a＞0．（1）求a的值；（2）若对任意的x∈（1，+∞），有（x+1）f（x）+x2-2x+k＞0恒成立，求实数k的最小值；（3）设h（x）=f（x）+x-1，对任意x1，x2∈（0，+∞）（x1≠x2），证明：不等式x1+x22＞x1?x2h(x1)?h(x2)恒成立．

（1）f′（x）=
1
x -1，
则函数f（x）=lnx-x+a在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
则若使函数f（x）=lnx-x+a有且只有一个零点，
则0-1+a=0，解得，a=1；
（2）（x+1）f（x）+x2-2x+k＞0可化为
（x+1）（lnx-x+1）+x2-2x+k＞0，
即k＞2x-xlnx-lnx-1对任意的x∈（1，+∞）恒成立，
令g（x）=2x-xlnx-lnx-1，
则g′（x）=2-lnx-1-
1
x =
x?xlnx?1
x ，
令m（x）=x-xlnx-1，
则m′（x）=1-lnx-1=-lnx，
∵x∈（1，+∞），
∴m′（x）=1-lnx-1=-lnx＜0，
则m（x）=x-xlnx-1＜1-1ln1-1=0，
则g′（x）＜0，
则g（x）在（1，+∞）上是减函数，
则k＞2x-xlnx-lnx-1对任意的x∈（1，+∞）恒成立可化为
k≥g（1）=2-0-0-1=1，
则k的最小值为1；
（3）证明：由题意，h（x）=f（x）+x-1=lnx，
则对任意x1，x2∈（0，+∞）（x1≠x2），
x1+x2
2 ＞
x1?x2
h(x1)?h(x2) 恒成立可化为，
对任意x1，x2∈（0，+∞）（x1≠x2），
(x1+x2)(lnx1?lnx2)?2(x1?x2)
2(lnx1?lnx2) ＞0恒成立；
不妨没x1＜x2，则lnx1-lnx2＜0，
则上式可化为（x1+x2）（lnx1-lnx2）-2（x1-x2）＜0，
令n（x）=（x1+x）（lnx1-lnx）-2（x1-x），
则n′（x）=（lnx1-lnx）-（x1+x）
1
x +2
=lnx1-lnx-
x1
x +1，
n″（x）=-
1
x +
x1
x2 =
x1?x
x2 ，
∵则当x∈（x1，+∞）时，n″（x）＜0，
则n′（x）在（x1，+∞）上是减函数，
则n′（x）＜n′（x1）=0，
则n（x）在（x1，+∞）上是减函数，
则n（x）＜n（x1）=0，
则（x1+x2）（lnx1-lnx2）-2（x1-x2）＜0，
故对任意x1，x2∈（0，+∞）（x1≠x2），不等式
x1+x2
2 ＞
x1?x2
h(x1)?h(x2) 恒成立．

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