一道数学题目，高手解答

已知某商品价格上涨X%，销售数量就减少mX%，其中m为正的常数

（1）当m为0.5时，该商品价格上涨多少，能使销售总金额最大？

 

（2）如果适当涨价能使销售总金额增加，求m的取值范围

1设原价为1  销量为b
所以销售总金额=单价*数量=(1+x%)(1-0.5*x%)b
=10000^(-1)b(100+x)(100-0.5x)

对二次函数f(x)=(100+x)(100-0.5x)=-0.5(x-50)^2+11250
所以当x=50时 取到最大值  11250 即上涨50%

2.销售总金额=单价*数量=(1+x%)(1-kx%)b
=10000^(-1)b(100+x)(100-kx)

对 f(x)=(100+x)(100-kx)=-(√kx-50(1-k)/√k)^2+2500(1-k)^2/k+10000
当 x=50(1-k)/k 时有最大值  要涨价能使总金额增加，
即有  50(1-k)/k>0 所以0<k<1

1设原价为1  销量为b所以销售总金额=单价*数量=(1+x%)(1-0.5*x%)b=10000^(-1)b(100+x)(100-0.5x)对二次函数f(x)=(100+x)(100-0.5x)=-0.5(x-50)^2+11250所以当x=50时 取到最大值  11250 即上涨50%2.销售总金额=单价*数量=(1+x%)(1-kx%)b=10000^(-1)b(100+x)(100-kx)对 f(x)=(100+x)(100-kx)=-(√kx-50(1-k)/√k)^2+2500(1-k)^2/k+10000当 x=50(1-k)/k 时有最大值  要涨价能使总金额增加，即有  50(1-k)/k>0 所以0<k<1

销售金额=（1+x%）（1-mx%）（1）m=0.5时，代入得：销售金额=（1+x%）（1-0.5x%）= -（x%）²+0.5x%+1= -（x%-0.25）²+0.9375所以当x%=0.25=25%时，总金额最大（2）销售金额=（1+x%）（1-mx%）＞1，由此得：m＜（1-1/（1+x%））/x%=1/（1+x%）＜1，所以0＜m＜1

(1)商品价格上涨50%能使销售总金额最大。

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