数列：已知a＾2,b＾2,c＾2成公差不为0的等差数列，求证：1/(b+c),1/(c+a),1/(a+b)也能成等差数列。

数列：已知a＾2,b＾2,c＾2成公差不为0的等差数列，求证：1/(b+c),1/(c+a),1/(a+b)也能成等差数列。

a＾2,b＾2,c＾2成公差不为0的等差数列

所以 a^2+c^2=b^2

两边同加上2ab+2bc+2ac：

a^2+2ac+c^2+2ab+2bc=2(ab+ac+b^2+bc)

进而 (a+c)^2+2b(a+c)=2(b+c)(a+b)

即  (a+c)(a+c+2b)=2(b+c)(a+b)

两边同除以 (a+b)(b+c)(c+a) 得  (a+b+b+c)/[(b+c)(a+b)]=2/(a+c)

即 1/(b+c)+1/(a+b)=2/(a+c)，

所以 1/(b+c)、1/(c+a)、1/(a+b)成等差数列.

a^2,b^2,c^2成等差数列 所以a^2+c^2=2b^2 1/(b+c）+1/(a+b)-2/(a+c) =(a^2+ab+ac+bc+ab+c^2+bc+ac-2ab-2b^2-2ac-2bc)/(a+b)(b+c)(a+c) =(a^2+c^2-2b^2)/(a+b)(b+c)(a+c) =0 所以： 1/(b+c），1/（c+a),1/(a+b)也成等差数列

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