数列竞赛题已知数列{an},a1=0,a(n+1)=5an+根号下(24*an^2+1）求an

数列竞赛题已知数列{an},a1=0,a(n+1)=5an+根号下(24*an^2+1）求an

我的思路(非严格证明):如果存在b(n+1)=5an-√(24an^2+1)就好了那么a(n+1)+b(n+1)=10an,a(n+1)b(n+1)=an^2-1计算{an}前5项发现b(n+1)=a(n-1)a1=0,a2=1,a3=10,a4=99,a5=980b1=?,b2=-1,b3=0,b4=1,b5=10猜想a(n+1)+a(n-1)=10an,a(n+1)a(n-1)=an^2-1构造递增数列{cn},满足c1=0,c2=1,c(n+1)+c(n-1)=10cn只要证明{cn}={an}就可以了利用待定系数法,将c(n+1)+c(n-1)=10cn化为c(n+1)-kc(n)=(10-k)(cn-kc(n-1))得到k^2-10k-1=0,k1=5+√24,k2=5-√24是方程的两实根所以c(n+1)-k1c(n)=k2(cn-k1c(n-1))=k2^(n-1)c(n+1)-k2c(n)=k1(cn-k2c(n-1))=k1^(n-1)相加得2c(n+1)-10cn=k1^(n-1)+k2^(n-1)即c(n+1)=5cn+(k1^(n-1)+k2^(n-1))/2猜想{cn}={an},c(n+1)=5cn+(k1^(n-1)+k2^(n-1))/2a(n+1)=5an+√(24an^2+1)很可能√(24an^2+1)=(k1^(n-1)+k2^(n-1))/2得到通项 an = √( ((k1^(n-1)+k2^(n-1))^2-4)/96 )其中k1=5+√24,k2=5-√24关键是要证明{cn}={an},我还没想到,但是an很可能就是上面那个...

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