f=xsinx在的单调性怎么证明

f=xsinx在的单调性怎么证明

用“定义法”证明此题。
证明：
1，f(x)=xsinx的定义域：R
2，f(x)=xsinx是偶函数
3，f(x)=xsinx的震荡周期：2π
所以，只需证明x≥0时的一个震荡周期内的单调性即可。
下面证明 f(x)=xsinx在(0， 2π)上的单调性

(1)设x1，x2∈(0， π/2)∪(3π/2，2π)，且x1根据y=sinx的性质，
sin(x1)，sin(x2)均正，且sin(x1)f(x1)-f(x2)
=x1sin(x1)-x2sin(x2)
=x2[sin(x1)-sin(x2)]
<0
所以，f(x1)所以， f(x)=xsinx在(0， 2π)∪(3π/2，2π) 上单调递增

(2) 设x1，x2∈(π/2，π)，且x1根据y=sinx的性质，
sin(x1)，sin(x2)均正，且sin(x1)>sin(x2)
f(x1)-f(x2)
=x1sin(x1)-x2sin(x2)
>x1sin(x1)-x1sin(x2)
=x1[sin(x2)-sin(x1)]
>0
所以，f(x1)>f(x2)
所以，f(x)=xsinx在(π/2，π)上单调递减

(3)设x1，x2∈(π，3π/2)，且x1根据y=sinx的性质，sin(-x1)，sin(-x2)均正， 且sin(x1)>sin(x2)
f(x1)-f(x2)
=x1sin(x1)-x2sin(x2)
=x1sin(x1)+x2sin(-x2)
>x1sin(x1)+x1sin(-x2)
=x1[sin(x1)-sin(x2)]
>0
所以，f(x1)>f(x2)
所以，f(x)=xsinx在(π/2，3π/2)上单调递减
PS：
1， f(x)=xsinx是线性震荡函数。
2，对于震荡函数的单调性的证明，无论是定义法还是导数法，证明过程均比较复杂。

没有学过导数，比较难，定义不是那么好证。

倒数 变 求导 这种书上一般有 直接翻书就可以了

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