至少任取几个正整数,可以保证其中必存在六个数,他们的和是6的倍数

至少任取几个正整数,可以保证其中必存在六个数,他们的和是6的倍数

所谓能被6整除的数，即能被3整除的偶数；据此我们把正整数分为2大类6小类。
一、奇数；除以3分别余（0,1,2）不妨称之曰：奇0，奇1，奇2。
二、偶数；除以3分别余（0,1,2,）同理称之曰：偶0，偶1，偶2。
看到这里相信你已经明白原理了，接下来就是穷举数数了。

我们数数的方法是考量最多取几个正整数，让其中任意6个之和都不能整除6，而再增多一个任意小类，则满足必有6个之和能被6整除。
1、不妨先考虑5个奇0，那么对应的偶0就只能有1个（如果有2个偶0，则4个奇0加两个偶0已满足）；
2、此时优先考虑奇1最多2个（否则3奇1加3个奇0满足），偶1只能是0个；优先考虑偶1，亦最多2个，奇1同样0个，不影响总个数；
3、不论2为何种情况，偶2和奇2都只能取0。
此时总数字为：5+1+2=8个。
4、此时我们数了其中一种情况，相信原理方式什么的你都明白了，接下来只要利用穷举法和各种耐心，迟早得把它所有情况数完，得出正确结论。不过我的建议是，采用另外一种穷举，不妨采用先大胆假设，再找反例的方法。
即：假设任取9（即8+1）个正整数，题设满足。那么这九个数总共可能含有2~6类数字；再对其不同分类，逐一验证。例如先假设只有两类，考察下去会发现：5个奇0，4个偶2不满足题设，甚至5个奇0,5个偶2亦不满足；当然在5个奇0,5个偶2的情况下，任一小类的数字都不能再加。
5、故重新假设，任取11（即5+5+1）个正整数，题设满足。那么这11个数字包含2~6类数字。当然如果是2类，会出现6个相同小类数字，已满足。故从3类开始找反例。

结论：这是一个非常笨拙的方法，可是我找不到更好的方式加以证明，只能用穷举法。不过从数学感觉的角度来说，我深信11就是最终的答案。如果谁能找到一个非常简单明了的方式得出结论，请一定告诉我！万谢！
共勉！

设有k个数 第一项是a 那么取的数是 a,a+1,a+2,……,a+k-1 k个数的和：k(a+k-1)/2 那么要能被6整除 就是要k(a+k-1)/12能得个整数 那么a最小取1 那么k最小就是11 这样可以么？

因为是 6 的倍数，所有数可以分为6类，6k、6k-1、6k-2、6k-3、6k-4、6k-5.反证 设这11个整数为：a1，a2，a3……a11 又6=2×3 ①先考虑被3整除的情形 由例2知，在11个任意整数中，必存在： 3|a1+a2+a3，不妨设a1+a2+a3=b1； 同理，剩下的8个任意整数中，由例2，必存在：3 | a4+a5+a6.设a4+a5+a6=b2； 同理，其余的5个任意整数中，有：3|a7+a8+a9，设：a7+a8+a9=b3 ②再考虑b1、b2、b3被2整除. 依据抽屉原理，b1、b2、b3这三个整数中，至少有两个是同奇或同偶，这两个同奇（或同偶）的整数之和必为偶数.不妨设2|b1+b2 则：6|b1+b2，即：6|a1+a2+a3+a4+a5+a6 ∴任意11个整数，其中必有6个数的和是6的倍数.

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