【莫德尔】什么是埃多斯-莫德尔不等式

【莫德尔】什么是埃多斯-莫德尔不等式

【答案】 设P为△ABC内任一点(包括边界),点P到边AB、BC、CA的距离分别为PD1、PD2、PD3,则：
　　PA＋PB＋PC≥2(PD1＋PD2＋PD3).
　　此不等式由近代数学家Erdos于1935年提出,当时未能给予证明,时隔两年,到了1937年才由Mordell利用三角函数给出了证明.
　　设f（x) = x² + y²+ z² - 2(xycosa + yzcosb + zxcosc)
　　= x² - 2(ycosa + zcosc)x + (y² + z² - 2yzcosb)
　　则△ = 4(ycosa + zcosc) ² - 4(y² + z² - 2yzcosb)
　　= - 4 [ y² ( 1 - cosa² ) + z² ( 1 - cos²c ) - 2yzcosacosc + 2yzcos ( a + c ) ]
　　= - 4(y²sin²a + z²sin²g - 2yzsinasing)
　　= - 4(ysina - zsing)²≤0
　　∴f( )≥0,即不等式
　　设x、y、z R,且a+b+c=л,则永远有x²+y²+z²≥2(xycosa + yzcosb + zxcosc)成立.
　　可证得如下的几何不等式：设P为△ABC内任一点(包括边界),∠APB、∠PBC、∠CPA的平分线与边AB、BC、CA分别相交于E1、E2、E3,则PA＋PB＋PC≥2(PE1＋PE2＋PE3)；∠CPA的平分线与边AB、BC、CA分别相交于E1、E2、E3,则
　　PA＋PB＋PC≥2(PE1＋PE2＋PE3)
　　参考资料

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