高数利用导数大于0 函数单增 证明当0＜x＜π/2时,2/π x＜sinx＜x 求具体推理过程 谢
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解决时间 2021-01-10 03:26
- 提问者网友：寂寞梧桐
- 2021-01-09 18:50
高数利用导数大于0 函数单增 证明当0＜x＜π/2时,2/π x＜sinx＜x 求具体推理过程 谢
最佳答案
- 五星知识达人网友：污到你湿
- 2021-01-09 18:58
令f(x)=x-sinx 0
∴f(x)>f(0)=0
∴x>sinx
再令g(x)=sinx-2x/π
g'(x)=cosx-2/π
驻点x₀=arccos(2/π)
g''(x)=-sinx<0
∴g(x₀)是极大值>0
g(0)=0,g(π/2)=1-1=0
∴g(x)∈(0,g(x₀))>0
∴sinx>2x/π
∴f(x)>f(0)=0
∴x>sinx
再令g(x)=sinx-2x/π
g'(x)=cosx-2/π
驻点x₀=arccos(2/π)
g''(x)=-sinx<0
∴g(x₀)是极大值>0
g(0)=0,g(π/2)=1-1=0
∴g(x)∈(0,g(x₀))>0
∴sinx>2x/π
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