已知a、b是不等正数 且a³-b³＝a²-b² 求证 1＜a＋b＜4/3

已知a、b是不等正数 且a³-b³＝a²-b² 求证 1＜a＋b＜4/3

∵a^3－b^3＝a^2－b^2，∴（a－b）（a^2＋ab＋b^2）＝（a－b）（a＋b），又a、b不等，
∴a^2＋ab＋b^2＝a＋b，∴（a＋b）^2－ab＝a＋b。
∵a、b都是正数，∴（a＋b）^2－ab＜（a＋b）^2，∴（a＋b）^2＞a＋b，∴a＋b＞1。······①

∵（a＋b）^2－ab＝a＋b，∴（a＋b）^2－（a＋b）＝ab，
∴2√［（a＋b）^2－（a＋b）］＝2√（ab）＜a＋b，∴4（a＋b）^2－4（a＋b）＜（a＋b）^2，
∴3（a＋b）^2＜4（a＋b），∴a＋b＜4/3。······②

由①、②，得：1＜a＋b＜4/3。

证明：

∵a，b为正数，且a≠b ∴(√a-√b)²>0 a+b>2√ab 2ab/（a+b）<2ab/2√ab=√ab ∴2ab/（a+b）<√ab

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