利用级数方法证明:∫(1,0)( x+ln(1-x))/x^2dx=-1
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解决时间 2021-04-06 04:58
- 提问者网友：放下
- 2021-04-05 23:47
利用级数方法证明:∫(1,0)( x+ln(1-x))/x^2dx=-1
最佳答案
- 五星知识达人网友：duile
- 2021-04-06 01:18
首先幂级数∑{0 ≤ n} x^n在(-1,1)内闭一致收敛到1/(1-x).
逐项积分得∑{1 ≤ n} x^n/n = ∑{0 ≤ n} x^(n+1)/(n+1) = -ln(1-x).
因此x+ln(1-x) = -∑{2 ≤ n} x^n/n,
进而有(x+ln(1-x))/x² = -∑{2 ≤ n} x^(n-2)/n = -∑{0 ≤ n} x^n/(n+2).
右端幂级数在(-1,1)内闭一致收敛, 逐项积分得:
∫{0,1} (x+ln(1-x))/x² dx = -∑{0 ≤ n} 1/((n+1)(n+2)) = -∑{0 ≤ n} (1/(n+1)-1/(n+2)) = -1.
逐项积分得∑{1 ≤ n} x^n/n = ∑{0 ≤ n} x^(n+1)/(n+1) = -ln(1-x).
因此x+ln(1-x) = -∑{2 ≤ n} x^n/n,
进而有(x+ln(1-x))/x² = -∑{2 ≤ n} x^(n-2)/n = -∑{0 ≤ n} x^n/(n+2).
右端幂级数在(-1,1)内闭一致收敛, 逐项积分得:
∫{0,1} (x+ln(1-x))/x² dx = -∑{0 ≤ n} 1/((n+1)(n+2)) = -∑{0 ≤ n} (1/(n+1)-1/(n+2)) = -1.
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- 1楼网友：想偏头吻你
- 2021-04-06 01:28
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