已知函数f（x）=（a+1）lnx+ax 2 +1．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）设 g(x)=- x 2 +2bx+3．当a=

已知函数f（x）=（a+1）lnx+ax 2 +1．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）设 g(x)=- x 2 +2bx+3．当a=-
1
3 时，若对任意 x 1 ∈(0，+∞)，存在 x 2 ∈[1，2] ，使f（x 1 ）≤g（x 2 ），求实数b取值范围．

（1）∵函数f（x）=（a+1）lnx+ax 2 +1，
∴f（x）的定义域为（0，+∞）， f ′ (x)=
a+1
x +2ax =
2a x 2 +a+1
x ，
当a≥0时，f′（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当a≤-1时，f′（x）＜0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减；
当-1＜a＜0时，由f′（x）=0，得 x 2 =-
a+1
2a ，
∵x＞0，∴x=


-
a+1
2a ，
当x∈（0，


-
a+1
2a ）时，f′（x）＞0，
当x∈（


-
a+1
2a ，+∞）时，f′（x）＜0，
函数f（x）在（0，


-
a+1
2a ）上单调递增；在（


-
a+1
2a ，+∞）上单调递减．
（2）当a=-
1
3 时，由（1）知f（x）在（0，+∞）上的最大值为f（1）=
1
3 ，
欲使符合条件的f（x 1 ）≤g（x 2 ）成立，
只需存在g（x） max ≥f（x） max =
2
3 即可，
∴存在x∈[1，2]使得不等式-x 2 +2bx+3≥
2
3 成立，
则由2bx ≥ x 2 -
7
3 ，得到2b ≥x-
7
3x ，
∵x-
7
3x 在[1，2]上有最小值-
4
3 ，
因此2b ≥-
4
3 ，故b ≥-
2
3 ．

（ⅰ）求导函数可得：f′(x)＝ 1 x ?a? 1?a x2 ＝ ?ax2+x?(1?a) x 2 =? [ax?(1?a)](x?1) x2 (x＞0) 令f′（x）=0，得x1＝ 1?a a ， x2＝1…（3分） 当a＝ 1 2 时，f'（x）≤0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减         …（4分） 当0＜a＜ 1 2 时， 1?a a ＞1，在（0，1）和( 1?a a ，+∞)上，有f'（x）＜0，函数f（x）单调递减， 在(1， 1?a a )上，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增    …（6分） （ⅱ）当a＝ 1 4 时， 1?a a ＝3，f(x)＝lnx? 1 4 x+ 3 4x ?1 由（ⅰ）知，函数f（x）在（0，1）上是单调递减，在（1，2）上单调递增， 所以函数f（x）在（0，2）的最小值为f(1)＝? 1 2 …（8分） 若对任意x1∈（0，2），当x2∈[1，2]时，f（x1）≥g（x2）恒成立， 只需当x∈[1，2]时，g（x）max≤- 1 2 即可， 又g（x）=（x-b）2+4-b2，x∈[1，2] 当b＜1.5时，g（x）max=g（2）=8-4b≤- 1 2 ，b≥ 17 8 ，不合题意，舍去， 当b＞1.5时，g（x）max=g（1）=5-2b，b≥ 11 4 ． 综上，实数b的取值范围是[ 11 4 ，+∞）．

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