已知x²+y²=1，求x2+2xy+3y2的最大值和最小值

已知x²+y²=1，求x2+2xy+3y2的最大值和最小值

解：用数形结合的方法来做。(x-2)²+(y-2)²=1可以看做是以(2,2)为圆心，1为半径的一个圆。y/x可以看做是这个圆上一点到原点连线的斜率。要求y/x的最值，就是求斜率的最值，应当在相切的时候取得。设直线方程为y=kx,联立(x-2)²+(kx-2)²=1(1+k²)x²-4(1+k)x+7=0相切时，只有一个公共点，故只有一个根，判别式等于0即△=16(1+k)²-28(1+k²)=-12k²+32k-12=03k²-8k+3=0k=(8±√28)/6=(4±√7)/3所以y/x=k的最大值是(4+√7)/3，最小值是(4-√7)/3设y+x=a最值同样是在直线y+x=a与圆相切时取得。y=a-x(x-2)²+(a-x-2)²=12x²-2ax+4+(a-2)²=12x²-2ax+a²-4a+7=0△=4a²-8(a²-4a+7)=-4a²+32a-56=-4(a²-8a+14)=0a=(8±√8)/2=4±√2故最大值为y+x=4+√2,最小值为4-√2追问题目好像不是这个……

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