若曲线y=f(x) (f(x)>0) 与直线x=a x=b(0<a<b) 及x轴围成的曲边梯形面积为根号(b^2-a^2)则f(x)是多少？

若曲线y=f(x) (f(x)>0) 与直线x=a x=b(0<a<b) 及x轴围成的曲边梯形面积为根号(b^2-a^2)则f(x)是多少？

你好！

【本题考查变上限定积分】

由题意
∫<a,b> f(x) dx = √(b² - a²)
故 ∫<a,x> f(t) dt = √(x² - a²)
两边对x求导得 f(x) = x / √(x² - a²)

面积S=∫[a,b] f(x)dx=b^2-a^2=x^2 [a,b]=F(x) [a,b] 即f(x)的原函数为F(x)=x^2+C ∴f(x)=F'(x)=2x

有两种方法可以解答， 方法一，因为是简单的函数，可以通过画图求解。 从图中可知，s=（a+b）(b-a)/2=(b^2-a^2)/2 方法二，用定积分求解 ∫ba(b在上面) x,dx =1/2 (b^2-a^2)

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