找规律1 1 1 3 1 5 1 7....第n个为多少(用含n的代数式表示)
- 提问者网友：饥饿走向夜
- 2021-01-29 18:04
- 五星知识达人网友：雾月
- 2021-01-29 18:15
当n为偶数时，第n个为n-1
- 1楼网友：慢性怪人
- 2021-01-29 19:25
这个
斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21…… 如果设f(n)为该数列的第n项(n∈n+)。那么这句话可以写成如下形式： f(0) = 0，f(1)=f(2)=1,f(n)=f(n-1)+f(n-2) (n≥3) 显然这是一个线性递推数列。 通项公式的推导方法一：利用特征方程 线性递推数列的特征方程为： x^2=x+1 解得 x1=(1+√5)/2, x2=(1-√5)/2. 则f(n)=c1*x1^n + c2*x2^n ∵f(1)=f(2)=1 ∴c1*x1 + c2*x2 c1*x1^2 + c2*x2^2 解得c1=1/√5，c2=-1/√5 ∴f(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}【√5表示根号5】 通项公式的推导方法二：普通方法 设常数r,s 使得f(n)-r*f(n-1)=s*[f(n-1)-r*f(n-2)] 则r+s=1, -rs=1 n≥3时，有 f(n)-r*f(n-1)=s*[f(n-1)-r*f(n-2)] f(n-1)-r*f(n-2)=s*[f(n-2)-r*f(n-3)] f(n-2)-r*f(n-3)=s*[f(n-3)-r*f(n-4)] …… f(3)-r*f(2)=s*[f(2)-r*f(1)] 将以上n-2个式子相乘，得： f(n)-r*f(n-1)=[s^(n-2)]*[f(2)-r*f(1)] ∵s=1-r，f(1)=f(2)=1 上式可化简得： f(n)=s^(n-1)+r*f(n-1) 那么： f(n)=s^(n-1)+r*f(n-1) = s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*f(n-2) = s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) + r^3*f(n-3) …… = s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)*f(1) = s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1) （这是一个以s^(n-1)为首项、以r^(n-1)为末项、r/s为公差的等比数列的各项的和） =[s^(n-1)-r^(n-1)*r/s]/(1-r/s) =(s^n - r^n)/(s-r) r+s=1, -rs=1的一解为 s=(1+√5)/2, r=(1-√5)/2 则f(n)=(√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}