正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直，

正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直.
（1）证明：Rt△ABM∽Rt△MCN；
（2）设BM=x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当M点运动到什么位置时，四边形ABCN面积最大，并求出最大面积；
（3）当M点运动到什么位置时Rt△ABM∽Rt△AMN，求此时x的值.

只要第三题！好了加分

正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直.
（1）证明：Rt△ABM∽Rt△MCN；
如图
因为四边形ABCD为正方形
所以，∠BAM+∠AMB=90°
又，AM⊥MN
所以，∠AMN=90°
所以，∠AMB+∠CMN=90°
所以，∠BAM=∠CMN
而，∠B=∠C=90°
所以，Rt△ABM∽Rt△MCN
（2）.
因为△ABM∽△MCN
所以AB/MC=BM/CN
所以4/(4-x)=x/CN
所以CN=(-x^2)/4+x
所以y=1/2*(AB+CN)*BC
=1/2*[4+(-x^2)/4+x]*4
=(-x^2)/2+2x+8
=-1/2(x-2)^2+10
当x=2时，即BC的中点
四边形ABCN面积最大，最大面积=10
（3）.
因为Rt△ABM∽Rt△AMN，其中∠ABM=∠AMN=90°
所以，∠BAM=∠MAN
所以：AB/AM=BM/MN

在Rt△ABM中，由勾股定理得到：AM=√(16+x^2)
由(1)的过程知，CN=x(4-x)/4
所以，在Rt△MCN中由勾股定理得到：
MN=√{(4-x)^2+[x(4-x)/4]^2}=√{(4-x)^2+[x^2(4-x)^2/16]}
=√[(4-x)^2*(x^2+16)]/16
=[(4-x)/4]*√(x^2+16)
代入(1)中有：4/√(16+x^2)=x/[(4-x)/4]*√(x^2+16)
所以：x/(4-x)=1
解得：x=2

证明：（1）在正方形abcd中，ab=bc=cd=4，∠b=∠c=90°， ∵am⊥mn， ∴∠amn=90°， ∴∠cmn+∠amb=90°． 在rt△abm中，∠mab+∠amb=90°， ∴∠cmn=∠mab， ∴rt△abm∽rt△mcn． （2）∵rt△abm∽rt△mcn， ∴ ab:mc=bm:cn，即4/4-x=x/cn ， ∴ cn=-x²+4x/4， ∴y=s梯形abcn= 1/2（-x²+4x/4 +4）•4 =- 1/2x²+2²+8 =- 1/2（x-2)²+10， 当x=2时，y取最大值，最大值为10． （3）∵∠b=∠amn=90°， ∴要使△abm∽△amn，必须有am:mn=ab:bm ， 由（1）知am:mn=ab:mc ， ∴bm=mc， ∴当点m运动到bc的中点时，△abm∽△amn，此时x=2

（1）证明：Rt△ABM∽Rt△MCN； 如图 因为四边形ABCD为正方形 所以，∠BAM+∠AMB=90° 又，AM⊥MN 所以，∠AMN=90° 所以，∠AMB+∠CMN=90° 所以，∠BAM=∠CMN 而，∠B=∠C=90° 所以，Rt△ABM∽Rt△MCN （2）. 因为△ABM∽△MCN 所以AB/MC=BM/CN 所以4/(4-x)=x/CN 所以CN=(-x^2)/4+x 所以y=1/2*(AB+CN)*BC =1/2*[4+(-x^2)/4+x]*4 =(-x^2)/2+2x+8 =-1/2(x-2)^2+10 当x=2时，即BC的中点 四边形ABCN面积最大，最大面积=10 （3）. 因为Rt△ABM∽Rt△AMN，其中∠ABM=∠AMN=90° 所以，∠BAM=∠MAN 所以：AB/AM=BM/MN 在Rt△ABM中，由勾股定理得到：AM=√(16+x^2) 由(1)的过程知，CN=x(4-x)/4 所以，在Rt△MCN中由勾股定理得到： MN=√{(4-x)^2+[x(4-x)/4]^2}=√{(4-x)^2+[x^2(4-x)^2/16]} =√[(4-x)^2*(x^2+16)]/16 =[(4-x)/4]*√(x^2+16) 代入(1)中有：4/√(16+x^2)=x/[(4-x)/4]*√(x^2+16) 所以：x/(4-x)=1 解得：x=2

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