如果向量组a1,a2…as可以由向量组β1,β2…βt线性表示。证明:r(a1,a2,…,as)≤r

如果向量组a1,a2…as可以由向量组β1,β2…βt线性表示。证明:r(a1,a2,…,as)≤r

设α1,α2,...,αs1; β1,β2,...,βt1 分别是两个向量组的极大无关组
则r(α1,α2,...,αs)=s1, r(β1,β2,...,βt)=t1
且由已知 α1,α2,...,αs1 可由 β1,β2,...,βt1 线性表示.
所以存在矩阵K满足 (α1,α2,...,αs1)=(β1,β2,...,βt1)K
K为t1行s1列矩阵.
假如 t1则齐次线性方程组 Kx=0 有非零解x0
所以 (α1,α2,...,αs1)x0=(β1,β2,...,βt1)Kx0=0
即x0是齐次线性方程组(α1,α2,...,αs1)x=0的非零解
所以α1,α2,...,αs1线性相关, 矛盾.
所以 s1<=t1.
即有 r(α1,α2,...,αs)<=r(β1,β2,...,βt)

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