问大家一个高二椭圆题

椭圆X2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的离心率为根号3/2,椭圆与直线x+2y+8=0相交于P、Q,若|PQ|=根号10,求椭圆方程，谢谢啦

解：按题意c/a＝√3/2 c^2/a^2=3/4 (a^2-b^2)/a^2=3/4 b^2/a^2=1/4 a^2=4b^2

椭圆X2/a2+y2/b2=1 为 x^2/(4b^2)+y^2/b^2=1 x^2+4y^2=4b^2

直线x+2y+8=0 x=-2y-8 代入椭圆方程得

(-2y-8)^2+4y^2=4b^2

(y+4)^2+y^2=b^2

2y^2+8y+16-b^2=0

此方程两根即为P(x1,y1)、Q(x2,y2)的纵坐标，由韦达定理得：

y1+y2=-4 y1*y2=8-b^2/2

PQ^2=(x1-x2)^2+(y1-y2)^2=10

[-2(y1-y2)]^2+(y1-y2)^2=10

(y1-y2)^2=2

(y1+y2)^2-4y1y2=2

16-4(8-b^2/2)=2

2b^2=14

b^2=7

a^2=4b^2=28

椭圆方程为： x^2/28+y^2/7=1

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