双曲线的一条渐进线的倾斜角为60度，离心率为E，求(a^2+e)/b的最小值

双曲线的一条渐进线的倾斜角为60度，离心率为E，求(a^2+e)/b的最小值

渐进线的倾斜角为60度，则b/a=√3，即b^2=c^2-a^2=3a^2、c=2a、e=2。
(a^2+e)/b=(a^2+2)/(√3a)=(1/√3)(a+2/a)>=(1/√3)(2√2)=2√6/3。
当且仅当a=2/a，即a=√2时，等号成立。
所以，(a^2+e)/b的最小值是2√6/3。

一条渐近线的倾斜角为π/3==>b/a=√3==>b=√3a c^2=a^2+b^2==>c^2=4a^2==>c=2a==>e=2 [(a^2+e)/b]^2 =(a^2+2)^2/(3a^2) =(a^4+4a^2+4)/(3a^2) =1/3(a^2+4/a^2+4) ≥1/3[2√(a^2*4/a^2)+4] =1/3(4+4)=8/3 当a^2=4/a^2时取等号 ∴(a^2+e)/b≥（2√6）/3

由已知得到b/a=tan60°=sqrt(3) 所以b^2=3a^2 从而c^2=a^2+b^2=4a^2 即e=c/a=2 所以(a^2+e)/b=(a/b)*a+2/b=sqrt(3)a+2/b =1/sqrt(3)*a+2/[sqrt(3)a] =1/sqrt(3)*【a+2*(1/a)】 >=1/sqrt(3)*2sqrt(2)=2/3sqrt(6). 当且仅当a=2*(1/a)时等号成立，即a=sqrt(2)时等号成立 所以(a^2+e)/b的最小值是2/3*sqrt(2). 注：sqrt()表示要号下（）

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