已知函数f（x）=x 2 +（x-1）|x-a|．（1）若a=-1，解方程f（x）=1；（2）若函数f（x）在R上单调递增，求

已知函数f（x）=x 2 +（x-1）|x-a|．（1）若a=-1，解方程f（x）=1；（2）若函数f（x）在R上单调递增，求实数a的取值范围；（3）是否存在实数a，使得g（x）=f（x）-x|x|在R上是奇函数或是偶函数？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由．

（1）当a=-1时，f（x）=x 2 +（x-1）|x+1|，
故有， f(x)=






2 x 2 -1，x≥-1
1，x＜-1 ，
当x≥-1时，由f（x）=1，有2x 2 -1=1，解得x=1，或x=-1．
当x＜-1时，f（x）=1恒成立，
∴方程的解集为{x|x≤-1或x=1}．
（2） f(x)=






2 x 2 -(a+1)x+a，x≥a
(a+1)x-a，x＜a ，
若f（x）在R上单调递增，
则有







a+1
4 ≤a
a+1＞0 ，解得， a≥
1
3 ．
∴当 a≥
1
3 时，f（x）在R上单调递增．
（3）g（x）=x 2 +（x-1）|x+a|-x|x|，
∵g（1）=0，g（-1）=2-2|a-1|，
若存在实数a，使得g（x）在R上是奇函数或是偶函数，
则必有g（-1）=0，
∴2-2|a-1|=0，∴a=0，或a=2．
①若a=0，则g（x）=x 2 +（x-1）|x|-x|x|=x 2 -|x|，
∴g（-x）=g（x）对x∈R恒成立，∴g（x）为偶函数．
②若a=2，则g（x）=x 2 +（x-1）|x+2|-x|x|，
∴g（2）=4，g（-2）=8，∴g（-2）≠g（2）且g（-2）≠-g（2），
∴g（x）为非奇非偶函数，
∴当a=0时，g（x）为偶函数；当a≠0时，g（x）为非奇非偶函数．

（1）若a=-1，则方程f（x）=1可化为x2+（x-1）?|x+1|=0， 即2x2-1=0（x≥-1）或1=0（x＜-1）， 故x= 2 2 或x=- 2 2 ； （2）f（x）=x2+（x-1）?|x-a|= 2x2?(1+a)x+a，x≥a (a+1)x?a，x＜a ， 则若使函数f（x）在r上单调递增， 则 a+1＞0 1+a 4 ≤a ， 则a≥ 1 3 ； （3）若a≥3，则f（x）=（a+1）x-a，x∈[2，3]， 则函数f（x）在[2，3]上的最小值为6，可化为 2（a+1）-a=6，则a=4； 若 1 3 ≤a＜3，则f（x）在[2，3]上单调递增， 则2（a+1）-a=6，则a=4无解， 若a＜ 1 3 ， 1+a 4 ＜ 1 3 ， 则f（x）=x2+（x-1）?|x-a|在[2，3]上单调递增， 则2?22-（1+a）2+a=6， 解得，a=0． 综上所述，a=0或a=4．

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