已知函数f(x)＝lnx?xa(a＞0)，若?x0∈R，使得?x1∈[1，2]，都有f（x1）＜f（x0），则实数a的取值范围是（

已知函数f(x)＝lnx?xa(a＞0)，若?x0∈R，使得?x1∈[1，2]，都有f（x1）＜f（x0），则实数a的取值范围是（　　）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，+∞）D．（0，1）∪（2，+∞）

求导函数，f′(x)＝
1
x ?
1
a (x＞0)
当x∈（0，a）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈（a，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
故f（x）max=f（a）．
?x0∈R，使得?x1∈[1，2]，都有f（x1）＜f（x0），则最大值不在区间[1，2]，
∴a?[1，2]，所以实数a的取值范围是（0，1）∪（2，+∞）
故选D．

 利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题 求导函数，确定函数的单调性，进而可得函数的最大值，从而问题转化为最大值不在区间[1，2]，故可求实数a的取值范围． 解：求导函数，f′(x)=

1

x

-

1

a

(x＞0) 当x∈（0，a）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈（a，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减， 故f（x）_max=f（a）． ∃x₀∈r，使得∀x₁∈[1，2]，都有f（x₁）＜f（x₀），则最大值不在区间[1，2]， ∴a∉[1，2]，所以实数a的取值范围是（0，1）∪（2，+∞）

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