三棱锥内外接球的半径怎么求

三棱锥内外接球的半径怎么求

正三棱锥的外接球半径求法：设A－BCD是正三棱锥，侧棱长为a,底面边长为b，则外接球的球心一定在这
个三棱锥的高上。设高为AM，连接DM交BC于E，连接AE，然后在面ADE内做侧棱AD的垂直平分线交三
棱锥的高AM于O，则0就是外接球的球心，AO，DO是外接球的半径。（当三棱锥的侧棱与它的对面所成
的线面角小于90度时，即角DAE小于90度时，球心在棱锥的内部；当线面角等于90度时，球心恰好在底面
正三角形的中心M上；当线面角大于90度时，球心在棱锥的外部，在棱锥高AM的延长线。下面我给出的解
法是第一种情况，球心在棱锥的内部。另两种情况你自己可以照理推出。）设AO＝DO＝R则，DM＝
2/3DE＝2/3*2分之根号3倍的b=b/根号3AM＝根号（a^2-b^2/3),OM=AM-A0=根号（a^2-b^2/3)-R由
DO＾2＝OM＾2＋DM＾2得，R＝根号3倍的a^2÷2倍的根号（3a^2-b^2)

方法： 首先找其中一个面的外接圆的圆心，再通过圆心作垂线，这个垂线与球的相交的线段就是球的直径。因为球的直径必须通过外接圆的圆心而且与该平面垂直。一般题设都会给出一个特殊的三角形以便做题。这里关键是找外接圆的圆心，所以找球的半径最终还是一个平面几何的的解题技巧。 正三棱锥的外接球半径求法： 设a－bcd是正三棱锥，侧棱长为a,底面边长为b， 则外接球的球心一定在这个三棱锥的高上。设高为am，连接dm交bc于e，连接ae，然后在面ade内做侧棱ad的垂直平分线交三棱锥的高am于o，则0就是外接球的球心，ao，do是外接球的半径。 （当三棱锥的侧棱与它的对面所成的线面角小于90度时，即角dae小于90度时，球心在棱锥的内部；当线面角等于90度时，球心恰好在底面正三角形的中心m上；当线面角大于90度时，球心在棱锥的外部，在棱锥高am的延长线。下面我给出的解法是第一种情况，球心在棱锥的内部。另两种情况你自己可以照理推出。） 设ao＝do＝r 则，dm＝2/3de＝2/3*2分之根号3倍的b=b/根号3 am＝根号（a²-b²/3), om=am-a0=根号（a²-b²/3)-r 由do²＝om²＋dm²得， r＝根号3倍的a²÷2倍的根号（3a²-b²)

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