一道高一物理题。求解

如图所示，一个圆柱形的竖直井里存有一定量的水，井的侧面和底部是密闭的。在井中固定地插着一根两端开口的薄壁圆管，管和井共轴，管下端未触及井底。在圆管内有一不漏气的活塞，它可沿圆管上下滑动。开始时，管内外水面相齐，且活塞恰好接触水面。现用卷扬机通过绳子对活塞施加一个向上的力F，使活塞缓慢向上移动。已知管筒半径 ，井的半径R＝2r，水的密度 ，大气压 ，求活塞上升H＝9.00m的过程中拉力所做的功（井和管在水面以上及水面以下的部分都足够长，不计活塞质量，不计摩擦，重力加速度 ）。

井的面积

S1=πR²

筒的面积

S2=πr²

S1/S2=πR²/(πr²)=(R/r)²=4

活塞上升H，井中液面下降h

S2H=(S1-S2)h

S2H=3S2h

h=3m

H+h=9m+3m=12m>10m，大气压不能支持这么高的水柱

设水柱升高h1，井中液面下降h2，h1+h2=h0（一标准大气压支持的水柱，约10m）

S2h1=(S1-S2)(h0-h1)

h1=0.75h0

h2=0.25h0

活塞提升h1时，这部分水的重心从原水面下0.5h2处提升到原水面上0.5h1处

增加的重力势能

W1=ρ水πr²gh1×(0.5h1+0.5h2)=0.375ρ水πr²gh0²

接下来提升H-h1，此时活塞下真空

W2=P0πr²(H-h1)=P0πr²(H-0.75h0)（P0为此时的大气压）

拉力做的总功

W=W1+W2=0.375ρ水πr²gh0²+P0πr²(H-0.75h0)（P0为此时的大气压，h0为大气压支持的水柱高）

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