高中数学题（导数的应用）

已知f(x)= (2x-a)/(x²+2) (x∈R)在区间[－1，1]上是增函数。

（Ⅰ）求实数a的值组成的集合A；

（Ⅱ）设关于x的方程f(x)=1/x的两个非零实根为x₁、x₂。试问：是否存在实数m，使得不等式m²+tm+1≥|x₁－x₂|对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由。

解：（Ⅰ）f＇(x)= (4+2ax-2x^2)/(x^2+2)^2= -(2x^2-ax-2)/(x^²+2)^2，

∵f(x)在[－1，1]上是增函数，

∴f＇(x)≥0对x∈[－1，1]恒成立，

即x^²－ax－2≤0对x∈[－1，1]恒成立.    ①

设 (x)=x^²－ax－2，

∵对x∈[－1，1]，f(x)是连续函数，且只有当a=1时，f＇(-1)=0以及当a=－1时，f＇(1)=0

∴A={a|－1≤a≤1}.  

（Ⅱ）由 (2x-a)/(x^²+2)=1/x，得x^²－ax－2=0，  

∵△=a^²+8>0

∴x₁，x₂是方程x^²－ax－2=0的两非零实根，

 

要使不等式m^²+tm+1≥|x₁－x₂|对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，

当且仅当m^²+tm+1≥3对任意t∈[－1，1]恒成立，

即m^²+tm－2≥0对任意t∈[－1，1]恒成立.    ②

设g(t)=m^²+tm－2=mt+(m^²－2)，

所以，存在实数m，使不等式m^²+tm+1≥|x₁－x₂|对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，其取值范围是{m|m≥2，或m≤－2}.

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