已知函数f(x)=ln(1+x)-x数列{an}满足a1=1/2,ln2+ln a(n+1)=a(n+1)an+f(a(n+1)an),求证ln(1+x)<=x

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解决时间 2021-02-28 08:29

提问者网友：动次大次蹦擦擦
2021-02-27 09:13

{an}的通项公式；求证a1+a2+a3+...+an<n+ln2-ln(n+2)

最佳答案

五星知识达人网友：污到你湿
2021-02-27 10:05

证明：1）若给定定义域x>=0,对f(x)=ln(x+1)-x,求导得f'(x)=1/(x+1)-1=-x/(x+1)<=0,x>=0.于是得f(x)在x>0上单调递减,又f(x)可在x=0处连续，得f(x)<=f(0)=0,得ln(x+1)-x<=0,x>=0,即ln(x+1)<=x,(x>=0)得证。2）由已知得ln[2a(n+1)]=ana(n+1)+ln[1+ana(n+1)]-ana(n+1),即ln[2a(n+1)]=ln[1+ana(n+1)],得2a(n+1)=1+ana(n+1),于是a(n+1)=1/(2-an),又a1=1/2,依次递推得a2=2/3,a3=3/4于是猜想an=n/(n+1).下面归纳证明：显然i)当n=1,2时命题成立。ii)若当n=k（k>2且k为N+）假设命题成立，则有ak=k/(k+1)。iii)那么n=k+1时,有a(k+1)=1/(2-ak)=1/[2-k/(k+1)]=(k+1)/(k+2),故n=k+1时也成立，于是对任意n(为N+)都有an=n/(n+1)。3）由于ln(1+x)0)。取1/(n+1)（＞0）替换x得ln[1+1/(n+1)]=ln[(n+2)/(n+1)]<1/(n+1)，进而有an=[1-1/(n+1)]<1-ln[(n+2)/(n+1)]我们将此不等式中n依次从1取到n，n项累加得a1+a2+...+an

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