抛物线y2=4px的焦点为F，P为其上的一点，O为坐标原点，若三角形OPF为等腰三角形，则这样的P有几个？

抛物线y2=4px的焦点为F，P为其上的一点，O为坐标原点，若三角形OPF为等腰三角形，则这样的P有几个？

抛物线焦点为F(p/2,0)，原点为O(0,0)
设抛物线上P点坐标为P(y^2/(4p),y)
则有OF=p/2，OP=√{[y^2/(4p)]^2+y^2}，PF=√{[y^2/(4p)-p/2]^2+y^2}
△OPF是否为等腰三角形，可分几种情况讨论：
①OF=OP，此时有 p^2/4=[y^2/(4p)]^2+y^2
整理可得 y^4+16p^2y^2-4p^4=0
此时方程有△=(16p^2)^2+4*4p^4>0，故有两个不同的y^2解
令t=y^2，有t1+t2=-16p^2<0, t1t2=-4p^2<0，故t=y^2的两个解为一正一负
负根舍弃，正根为t=y^2的解，将其开根可得y的两个解y1,y2
即此时存在两个点P使△OPF为等腰三角形
②OF=PF，此时有 p^2/4=[y^2/(4p)-p/2]^2+y^2
整理可得 y^4+12p^2y^2=y^2(y^2+12p^2)=0
∵y^2+12p^2>0，∴方程只有y=0一个解
此时P点与原点重合，OPF不构成三角形
即此时不存在点P使△OPF为等腰三角形
③OP=PF，此时有 [y^2/(4p)]^2+y^2=[y^2/(4p)-p/2]^2+y^2
整理可得 -y^2/4+p^2/4=0
此时可解得 y=±p
即此时也存在两个P点使△OPF为等腰三角形

综上所述，共存在4个P点使△OPF为等腰三角形

你好！ 4个 (1)作OF的垂直平分线交该抛物线于两点，此时OP=OF,该两点为两个P点； (2)设P(y^2/4p,y),令OP=PF， 用两点间距离公式求得PF， 联立求得x轴上下各一个P点，共两个P点； (3)令OF=PF,无解。 是为4个点。 如有疑问，请追问。

如以上回答内容为低俗、色情、不良、暴力、侵权、涉及违法等信息，可以点下面链接进行举报！

点此我要举报以上问答信息