在极限中，什么叫做无穷小量的阶

在极限中，什么叫做无穷小量的阶

无穷小量指极限趋向于0，但有些极限趋向0的快，有些慢，“阶”就是描述这个速度的相对快慢的；以函数极限为例（其它极限，如数列极限类似）：
假设函数f(x) 和g(x)在x->0时都是无穷小量，如果 f(x)/g(x) 是一个有限数，那么称他们是同阶无穷小（趋向于0的速度是一样的）；如果f(x)/g(x)还是一个无穷小，那么称f(x)相对g(x)来说是高阶无穷小（f(x)趋向于0的速度更快)，或者说g(x)相对f(x)是低阶无穷小。

上面是一般的定义，如果用多项式函数作为例子就非常直观了，比如：
f1(x)= x ; f2(x)= x^2 ; f3(x)= x^2 + x^3 , (x->0)
f1相对于f2就是低阶无穷小；f2和f3就是同阶无穷小（可以用上面的定义验证）。直观就可以看出来x^2比x趋向于0的速度快得多。

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在极限中，什么叫做无穷小量的阶 这里涉及两个问题。 第一，无穷小是一个越来越小的过程，是越来越趋向于0的过程， 它并不是一个很小的量。 国内的很多教科书，把infinity，说成无穷大量，把infinitesimal， 说成是无穷小量。其实都会误导学生。无穷大=inifinity，也不是 一个量。一个量无论多大，都不是无穷大，无穷大也是一个过程。

无穷小量 如果在x→0时，f(X)=0,则称f(X)=0是当x→0时的无穷小量，简称无穷小。 无穷小就是以数零为极限的变量。确切地说，当自变量x无限接近x0(或x的绝对值无限增大)时，函数值f(x)与零无限接近，即f(x)=0(或f(x)=0)，则称f(x)为当x→x0(或x→∞)时的无穷小量。例如，f(x)=(x－1)^2是当x→1时的无穷小量，f(1/n)=是当n→∞时的无穷小量，f(x)=sinx是当x→0时的无穷小量(注意：特别小的数和无穷小量不同）。 2同阶无穷小 如果lim F(x)=0,lim G(x)=0,且lim F(x)/G(x)=c,并且c≠0，则称F(x)和 G(x)是同阶无穷小。例如： 计算极限：lim（1-cosx）/x^2在x→0时，得到值为1/2，则说在x→0时，（1-cosx）与x^2是同阶无穷小

无穷小量指极限趋向于0，但有些极限趋向0的快，有些慢，“阶”就是描述这个速度的相对快慢的；以函数极限为例（其它极限，如数列极限类似）： 假设函数f(x) 和g(x)在x->0时都是无穷小量，如果 f(x)/g(x) 是一个有限数，那么称他们是同阶无穷小（趋向于0的速度是一样的）；如果f(x)/g(x)还是一个无穷小，那么称f(x)相对g(x)来说是高阶无穷小（f(x)趋向于0的速度更快)，或者说g(x)相对f(x)是低阶无穷小。 上面是一般的定义，如果用多项式函数作为例子就非常直观了，比如： f1(x)= x ; f2(x)= x^2 ; f3(x)= x^2 + x^3 , (x->0) f1相对于f2就是低阶无穷小；f2和f3就是同阶无穷小（可以用上面的定义验证）。直观就可以看出来x^2比x趋向于0的速度快得多。

解答: 这里涉及两个问题。 第一，无穷小是一个越来越小的过程，是越来越趋向于0的过程， 它并不是一个很小的量。 国内的很多教科书，把infinity，说成无穷大量，把infinitesimal， 说成是无穷小量。其实都会误导学生。无穷大=inifinity，也不是 一个量。一个量无论多大，都不是无穷大，无穷大也是一个过程。 第二，无穷小(=infinitesimal)的阶。 无穷小是一个无止境地趋向于0的过程，说它们的阶，其实就是 它们的power，也就是它们的幂次。x趋向于0时，x² 肯定比x小， 而 x³ 比 x²小，、、、、所以我们就说： x⁴是 x³ 的高阶无穷小； x³ 是 x² 的高阶无穷小； x² 是 x 的高阶无穷小； x³ 既是 x 的高阶无穷小，也是 x² 的高阶无穷小，更是 x 的高阶无穷小。 以此类推。 x 是一阶无穷小，x² 就是二阶无穷小，x³ 就是三阶无穷小，x⁴就是四阶无穷小， 、、、、、、、

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