n次多项式有n重根的充要条件是能多项式被导数整除
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解决时间 2021-03-08 09:05
- 提问者网友:寂寞梧桐
- 2021-03-08 00:54
求解
最佳答案
- 五星知识达人网友:一袍清酒付
- 2021-03-08 01:45
注意到:一个多项式f(x)有不可约k重因式p(x)的充要条件是,p(x)是f'(x)的k-1重因式。
回到问题,
n次多项式f(x)有n重根x=a,
充要条件是(x-a)是f(x)的n重因式
使用定理:
充要条件是,(x-a)是f'(x)的(n-1)重因式
因而可以得到
f(x)=C1(x-a)^n,且f'(x)=C2(x-a)^(n-1)
充分性:
显然,它被导数整除
必要性:(反证)
注意到,f'(x)只有一个(n-1)重的根,
则【f(x)=C3f'(x)(x-b)】(中括号内由代数基本定理得到)
注意到,假若a≠b
那么对【】左右两边求导可得:
f'(x)=C3f'(x)+C3f''(x)(x-b)(恒等)
而上面得到
f'(x)=C2(x-a)^(n-1)
那么
C2(x-a)^(n-1)=C3C2(x-a)^(n-1)+C3f''(x)(x-b)(恒等)
由次数可知,
若a≠b,则上面的式子无法恒等!
证毕!
回到问题,
n次多项式f(x)有n重根x=a,
充要条件是(x-a)是f(x)的n重因式
使用定理:
充要条件是,(x-a)是f'(x)的(n-1)重因式
因而可以得到
f(x)=C1(x-a)^n,且f'(x)=C2(x-a)^(n-1)
充分性:
显然,它被导数整除
必要性:(反证)
注意到,f'(x)只有一个(n-1)重的根,
则【f(x)=C3f'(x)(x-b)】(中括号内由代数基本定理得到)
注意到,假若a≠b
那么对【】左右两边求导可得:
f'(x)=C3f'(x)+C3f''(x)(x-b)(恒等)
而上面得到
f'(x)=C2(x-a)^(n-1)
那么
C2(x-a)^(n-1)=C3C2(x-a)^(n-1)+C3f''(x)(x-b)(恒等)
由次数可知,
若a≠b,则上面的式子无法恒等!
证毕!
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- 1楼网友:骨子里都是戏
- 2021-03-08 02:41
我不会~~~但还是要微笑~~~:)
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