勾股定理的历史

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勾股定理是初等几何中的一个基本定理.所谓勾股定理,就是指在直角三角形中,两条直角边的平方和等于斜边的平方.这个定理有十分悠久的历史,几乎所有文明古国(希腊,中国,埃及,巴比伦,印度等)对此定理都有所研究.勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理,相传是古希腊数学家兼哲学家毕达哥拉斯(Pythagoras,公元前572 ～公元前497 )(右图)于公元前550年首先发现的.但毕达哥拉斯对勾股定理的证明方法已经失传.著名的希腊数学家欧几里得(Euclid,公元前330～公元前275)在巨著《几何原本》(第Ⅰ卷,命题47)中给出一个很好的证明.(左图为欧几里得和他的证明图)
中国古代对这一数学定理的发现和应用,远比毕达哥拉斯早得多.中国最早的一部数学著作——《周髀算经》的开头,记载着一段周公向商高请教数学知识的对话:周公问:"我听说您对数学非常精通,我想请教一下:天没有梯子可以上去,地也没法用尺子去一段一段丈量,那么怎样才能得到关于天地得到数据呢 " 商高回答说:"数的产生来源于对方和圆这些形体的认识.其中有一条原理:当直角三角形'矩'得到的一条直角边'勾'等于3,另一条直角边'股'等于4的时候,那么它的斜边'弦'就必定是5.这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的呵." 如果说大禹治水因年代久远而无法确切考证的话,那么周公与商高的对话则可以确定在公元前1100年左右的西周时期,比毕达哥拉斯要早了五百多年.其中所说的勾3股4弦5,正是勾股定理的一个应用特例.所以现在数学界把它称为勾股定理是非常恰当的.
在稍后一点的《九章算术》一书中(约在公元50至100年间)(右图),勾股定理得到了更加规范的一般性表达.书中的《勾股章》说;"把勾和股分别自乘,然后把它们的积加起来,再进行开方,便可以得到弦.".《九章算术》系统地总结了战国,秦,汉以来的数学成就,共收集了246个数学的应用问题和各个问题的解法,列为九章,可能是所有中国数学著作中影响最大的一部.
中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理,而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明.最早对勾股定理进行证明的,是三国时期吴国的数学家赵爽.赵爽创制了一幅"勾股圆方图",用形数结合得到方法,给出了勾股定理的详细证明(右图).在这幅"勾股圆方图"中,以弦为边长得到正方形ABDE是由4个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的.每个直角三角形的面积为ab/2;中间的小正方形边长为b-a,则面积为(b-a)2.于是便可得如下的式子:
4×(ab/2)+(b-a)2=c2
化简后便可得:
a2+b2=c2
亦即:c=(a2+b2)(1/2)
赵爽的这个证明可谓别具匠心,极富创新意识.他用几何图形的截,割,拼,补来证明代数式之间的恒等关系,既具严密性,又具直观性,为中国古代以形证数,形数统一,代数和几何紧密结合,互不可分的独特风格树立了一个典范.
以后的数学家大多继承了这一风格并且有发展,只是具体图形的分合移补略有不同而已.例如稍后一点的刘徽在证明勾股定理时也是用以形证数的方法,刘徽(右图)用了"出入相补法"即剪贴证明法,他把勾股为边的正方形上的某些区域剪下来(出),移到以弦为边的正方形的空白区域内(入),结果刚好填满,完全用图解法就解决了问题.(左图为刘徽的勾股证明图)
中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明,在世界数学史上具有独特的贡献和地位.尤其是其中体现出来的"形数统一"的思想方法,更具有科学创新的重大意义

勾股定理-历史简介

		商高是公元前十一世纪的中国人。当时中国的朝代是西周，是奴隶社会时期。在中国古代大约是战国时期西汉的数学著作 《周髀 算经》中记录着商高同周公的一段对话。商高说：“…故折矩，勾广三，股修四，经隅五。”商高那段话的意思就是说：当直角三角形的两条直角边分别为3（短边）和4（长边）时，径隅（就是弦）则为5。以后人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”。这就是著名的勾股定理.
		关于勾股定理的发现，《周髀算经》上说："故禹之所以治天下者，此数之所由生也。""此数"指的是"勾三股四弦五"，这句话的意思就是说：勾三股四弦五这种关系是在大禹治水时发现的。

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