设函数f（x,y）=6xy,求f（x,y）在平面区域（x-y）^2+3y^2<=1上的最大值与最小

设函数f（x,y）=6xy,求f（x,y）在平面区域（x-y）^2+3y^2<=1上的最大值与最小

此为条件极值问题，
高数一般用拉格朗日乘数法求解;
但也可以用更简洁的初等数学方法求解:

依约束条件式知，可设
x-y=cosθ，y=(√3/3)sinθ.
即x=cosθ+(√3/3)sinθ，y=(√3/3)sinθ.
∴f(x,y)=6xy
=6[cosθ+(√3/3)sinθ]·(√3/3)sinθ
=2√3sinθcosθ+2sin²θ
=√3sin2θ+(1-cos2θ)
=1+2sin(2θ-π/6).
sin(2θ-π/6)=1，即θ=2kπ+π/3时，
所求最大值为f(x,y)|max=3，
此时，x=1，y=1/2;
sin(2θ-π/6)=-1，即θ=kπ-π/6时，
所求最小值为f(x,y)|min=-1，
此时，x=√3/3，y=-√3/6。

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