三阶导数=lnx原函数是……

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解决时间 2021-03-31 12:46

提问者网友：捧腹剧
2021-03-31 05:41

三阶导数=lnx原函数是……

最佳答案

五星知识达人网友：冷風如刀
2021-03-31 06:36

相当于对lnx求三次不定积分。
而对lnx求积分需要用到分部积分的技巧，即

如果取f(x)=x,(1/2)x^2,(1/3)x^3分别得到

取g(x)=lnx即得到

由第一个公式得到lnx的不定积分是xlnx-x+C1，再由第二个公式即得到xlnx-x+C1的不定积分是(1/2)x^2lnx-(1/4)x^2-(1/2)x^2+C1x+C2=(1/2)x^2lnx-(3/4)x^2+C1x+C2，再由第三个公式即得到(1/2)x^2lnx-(3/4)x^2+C1x+C2的不定积分是：
(1/6)x^3lnx-(1/18)x^3-(1/4)x^3+(1/2)C1x^2+C2x+C3
=(1/6)x^3lnx-(11/36)x^3+C1x^2+C2x+C3
这里由于C1可为任意值，因此可以用C1代替(1/2)C1。

综上，三阶导数为lnx的原函数是

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1楼网友：狂恋
2021-03-31 07:21

积分：∫lnxdx=xlnx-x+C1
再积分：∫(xlnx-x+C1)dx=x²/2lnx-x²/4-x²/2+C1x+C2=0.5x²lnx-0.75x²+C1x+C2
再积分：∫(0.5x²lnx-0.75x²+C1x+C2)dx=x³/6lnx-x³/18-0.25x³+C1x²/2+C2x+C3
这就是原函数。

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