设f(x)在闭区间[0,1]上连续,f(0)=f(1),证明：存在x0属于[0,1],使得f(x0)=f(x0+1/4)

设f(x)在闭区间[0,1]上连续,f(0)=f(1),证明：存在x0属于[0,1],使得f(x0)=f(x0+1/4)

证明：令f(0)=f(1)=a,f(3/4)=b,F(x)=f(x)-f(x+1/4)
分情况:
1.若a=b则
x0=3/4时f(x0)=f(3/4)=f(1)=f(x0+1/4)
显然满足
2.若aF(0)=f(0)-f(3/4)=a-b<0
F(3/4)=f(3/4)-f(1)=b-a>0
且F(x)在[0,3/4]上连续
于是在(0,3/4)必存在一点x0使得F(x0)=0
即f(x0)=f(x0+1/4)
3.若a>b则
与2同样方法
F(0)>0,F(3/4)<0
于是在(0,3/4)必存在一点x0使得F(x0)=0
f(x0)=f(x0+1/4)
综上所述,存在x0(0<=x0<=1)使f(x0)=f(x0+1/4)得证

设F(x)=f(x-1/3)-f(x)+1/3
F(1/3)=f(0)-f(1/3)+1/3=-f(1/3)+1/3
F(2/3)=f(1/3)-f(2/3)+1/3
F(1)=f(2/3)-f(1)+1/3=f(2/3)-2/3
F(1/3)+F(2/3)=-f(2/3)+2/3 ,由介值性定理,至少存在a,(1/3《a《2/3),使：
F(a)=(F(1/3)+F(2/3))/2=(-f(2/3)+2/3)/2
故：F(a)F(1)=(-f(2/3)+2/3)/2*(f(2/3)-2/3)《0,由根的存在性定理：
至少存在ξ,使得F(ξ)=0 ,即：f(ξ-1/3)=f(ξ)-1/3

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