已知数列{an}的前n项和为Sn，且对任意正整数n都有2Sn=（n+2）an-1．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）

已知数列{an}的前n项和为Sn，且对任意正整数n都有2Sn=（n+2）an-1．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设Tn＝1a1?a3+1a2?a4+…+1an?an+2，求limn→∞Tn．

（Ⅰ）法一：在2Sn=（n+2）an-1中，
令n=1，得2a1=3 a1-1，求得a1=1，
令n=2，得2（a1+a2）=4a2-1，求得a2=
3
2 ；
令n=3，得2（a1+a2+a3）=5 a3-1，求得a3=2；
令n=4，得2（a1+a2+a3+a4）=6 a4-1，求得a4=
5
2 ．
由此猜想：an=
n+1
2 ．  …
下面用数学归纳法证明．
（1）当n=1时，a1=
1+1
2 =1，命题成立．
（2）假设当n=k时，命题成立，即ak=
k+1
2 ，且2Sk=（k+2）ak-1，则由2Sk+1=（k+3）ak+1-1及Sk+1=Sk+ak+1，得（k+3）ak+1-1=2Sk+2ak+1，即（k+3）ak+1-1=[（k+2）ak-1]+2ak+1．则ak+1=
(k+2)ak
k+1 =
k+2
2 ，这说明当n=k+1时命题也成立．根据（1）、（2）可知，对一切n∈N*命题均成立．                        …（6分）
法二：在2Sn=（n+2）an-1中，令n=1，求得a1=1．
∵2Sn=（n+2）an-1，
∴2Sn-1=（n+1）an-1-1．  
当n≥2时，两式相减得：2（Sn-Sn-1）=（n+2）an-（n+1）an-1，
即  2 an=（n+2）an-（n+1）an-1整理得，
an
an?1 ＝
n+1
n ． …（3分）
∴an=
an
an?1 ?
an?1
an?2 ?…?
a3
a2 ?
a2
a1 ?a1=
n+1
n ?
n
n?1 ?…?
4
3 ?
3
2 ?1=
n+1
2 ．   
当n=1时，an=
1+1
2 ，满足上式，
∴an=





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答案纠错|评论

（ⅰ）由2 sn ＝an+1，n=1代入得a1=1， 两边平方得4sn=（an+1）2（1）， （1）式中n用n-1代入得4sn?1＝(an?1+1)2  &(n≥2) （2）， （1）-（2），得4an=（an+1）2-（an-1+1）2，0=（an-1）2-（an-1+1）2，（3分） [（an-1）+（an-1+1）]?[（an-1）-（an-1+1）]=0， 由正数数列{an}，得an-an-1=2， 所以数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列，有an=2n-1．（7分） （ⅱ）bn＝ 1 an?an+1 ＝ 1 (2n?1)(2n+1) ＝ 1 2 ( 1 2n?1 ? 1 2n+1 )， 裂项相消得bn＝ n 2n+1 ．（14分）

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