设椭圆C:x²/a²+y²/b²=1(a>b>0),过点(0,4),离心率为3/5, 1.求椭圆c

的方程，
2.若过点(3,0)且斜率为4/5分直线与椭圆C交于A,B两点,求AB的长

第一个问题：∵（0，4）在椭圆x^2/a^2＋y^2/b^2＝1上，∴16/b^2＝1，∴b^2＝16。又e＝c/a＝√（a^2－b^2）/a＝3/5，∴25（a^2－b^2）＝9a^2，∴25a^2－9a^2＝25b^2，∴16a^2＝25×16，∴a^2＝25。∴满足条件的椭圆C的方程是：x^2/25＋y^2/16＝1。第三个问题：过点（3，0）且斜率为4/5的直线方程为：y＝（4/5）（x－3）＝4x/5－12/5。联立：y＝4x/5－12/5、x^2/25＋y^2/16＝1，消去y，得：x^2/25＋（4x/5－12/5）^2/4＝1，∴x^2/25＋4x^2/25－24x/25＋36/25＝1，∴5x^2－24x＋11＝0。令直线y＝4x/5－12/5被椭圆C所截线段为AB，则可分别令A、B的坐标为：A（p，4p/5－12/5）、B（q，4q/5－12/5）。显然，p、q是方程5x^2－24x＋11＝0的根，∴由韦达定理，有：p＋q＝24/5，∴（p＋q）/2＝12/5，∴［（4p/5－12/5）＋（4q/5－12/5）］/2＝（4/5）（p＋q）－12/5＝96/25－60/25＝36/25。∴满足条件的线段中点的坐标是（12/5，36/25）。

(1) b=4 e=c/a=3/5 a²=b²+c² 解得 a=5 椭圆方程为 x²/25+y²/16=1 (2)直线为y=4/5 (x-3) 4x-5y-12=0 与椭圆方程联立 (5y+12)²+25y²=400 解得 50y²+120y-2560 y1+y2=-12/5 所以中点的纵坐标为-6/5 横坐标为3/2 所以中点坐标（3/2,-6/5)

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