在数列an中，a1=1，an=2S^n/2Sn-1（n≥2）证明数列1/sn是等差数列

在数列an中，a1=1，an=2S^n/2Sn-1（n≥2）证明数列1/sn是等差数列

1)
由an=2(Sn^2)/(2Sn-1) (n≥2),得
Sn-S(n-1)=2(Sn^2)/(2Sn-1) (n≥2),
得S(n-1)-Sn-2S(n-1)Sn=0
同时除以S(n-1)Sn得到
1/Sn-1/S(n-1)=2
所以数列{1/Sn}是等差数列,首项为1/S1=1/A1=1,公差为2.

解：把an=sn-s(n-1)代入原式，变形化简得：sn+2sn s(n-1)-s(n-1)=0

两边同时除以sn s(n-1)，得：1/sn-1/s(n-1)=2

故｛1/sn｝是以1/s1=1为首项，公差d=2的等差数列，

从而1/sn=1/s1+（n-1)d=1+(n-1)×2=2n-1

故sn=1/(2n-1)

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