高考数列问题

已知数列{ a_n }的前n项和S_n满足，S_n=2a_n+（—1）ⁿ，n≥1。

1 。 写出数列{ a_n }的前三项。

2 。 求数列{ a_n }的通项公式。

1)由a1=S1=2a1-1 得a1=1

由a1+a2=S2=2a2+(-1)²,得a2=0

由a1+a2+a3=S3=2a3+(-1)³,得a2=2

(2)当n≥2时

因为an=Sn-S<n-1>=2(an-a<n-1>)+2×(-1)^n

即an=2a<n-1>-2×(-1)^n=2a<n-1>+2×(-1)^(n-1)

用数列的待定系数法做

设an+λ*(-1)^n=2[a<n-1>+λ*(-1)^(n-1)]

==>an=2a<n-1>+2λ*(-1)^(n-1)-λ*(-1)^n

==>an=2a<n-1>+2λ*(-1)^(n-1)+λ*(-1)^<n-1>

==>an=2a<n-1>+3λ*(-1)^(n-1)

与an=2a<n-1>+2×(-1)^(n-1)对比可得

3λ=2 ==>λ=2/3

所以数列{an+2/3*(-1)^n}是一个公比为2且首项为a1+2/3×(-1)^1=1/3的等比数列

所以an+2/3*(-1)^n=1/3×2^(n-1)

an=1/3×2^(n-1)-2/3*(-1)^n

=2/3×[2^(n-2)-(-1)^n]

=2/3×[2^(n-2)+(-1)^(n-1)]

A1=1

A2=3

A3=7

An=2^n-1

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