求证： lim((1^p+2^p+...+n^p)/(n^p)-n/(p+1))=1/2(n→∞)

求证： lim((1^p+2^p+...+n^p)/(n^p)-n/(p+1))=1/2(n→∞)

(1^p+2^p+...+n^p)/(n^p)=(1/n)^p+(2/n)^p+...+(n/n)^p
当n足够大时，(1/n)^p+(2/n)^p+...+(n/n)^p为函数 x^p从0，1的积分，
所以 lim (1/n)^p+(2/n)^p+...+(n/n)^p=∫x^pdx (0,1)=x^(p+1)/(p+1)|(0,1)=1/(p+1)
设函数f(x)=x^(p+1)/(p+1)，f'(x)=x^p,f''(x)=px^(p-1),二阶展开：
f(x+Δx)-f(x)=Δx*f'(x)-f''(x)*Δx²/2+o(Δx²)，
令x=i/n,Δx=1/n，即f((i+1)/n)-f(i/n)=1/n(i/n)^p-p(i/n)^(p-1)/2n²+o(1/n²)，
求得(i/n)^p=n[f((i+1)/n)-f(i/n)]+p(i/n)^(p-1)/2n+o(1/n)
将i=0,1，2，3……n-1代入，两边求和得，
(1^p+2^p+...+n^p)/(n^p)=n[f(1)-f(0)]+(p/2n)[∑(i/n)^(p-1)]+o(1)
前面已经求出∑(i/n)^p=1/(p+1),所以∑(i/n)^(p-1)=1/p，因此上式
=n[f(1)-f(0)]+1/2=n/(1+p)
故lim[(1^p+2^p+...+n^p)/(n^p)-n/(p+1)]=lim[n/(1+p)+1/2-n/(p+1)]=1/2

1/2 <前面的（1^p+2^p+……+n^p）/n^p=（（1/n）^p+..+(n/n)^p） n->∞时等于 n*积分x^p 0到1 所以 等于 n/(p+1)>这个确实有问题 它最多可以说明 limn分之（1^p+2^p+……+n^p）/n^p=p+1 下面再利用这个证明 由微分2阶展开 f(x)-f(x-h)=h*f'(x)-f''(x)*h^2/2+o(h^2) 设f(x)=x^(p+1)/(p+1) 则f'(x)=x^p f''(x)=px^(p-1) 则f(i/n)-f((i-1)/n)=(1/n)*(i/n)^p-(p/2)(i/n)^(p-1)*(1/n)^2+o(1/n^2) 则(i/n)^p=n*(f(i/n)-f((i-1)/n))+(p/2n)(i/n)^(p-1)+o(1/n) 将i=1....n带入 并全部加起来得 （1^p+2^p+……+n^p）/n^p=n(f(1)-f(0))+(p/2n)(∑(i/n)^(p-1))+o(1)...1式 前面已经给出（1/n）(∑(i/n)^(p-1))=p 因此 1式=n/(p+1)+1/2 因此（1^p+2^p+……+n^p）/n^p— n/(p+1)=1/2

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