已知偶函数f(x)=log4(4^x+1)+kx(k∈R) 已知偶函数f(x)=log4(4^x+1

已知偶函数f(x)=log4(4^x+1)+kx(k∈R) 已知偶函数f(x)=log4(4^x+1

已知偶函数f(x)=log₄(4^x+1)+kx(k∈R),（1）求k的值；(2)设g(x)=log₄[a*2^x-(4/3)a],若函数f(x)与g（x）的图像有且只有一个公共点,求实数a的取值范围1.f(-x)=log₄[4^(-x)+1]-kx=log₄[(1+4^x)/4^x]-kx=log₄(1+4^x)-log₄4^x-kx=log₄(1+4^x)-x-kx=f(x)=log₄(4^x+1)+kx故有-x-kx=kx,即有 (2k+1)x=0,故k=-1/2.2.f(x)=log₄(4^x+1)-x/2=log₄(4^x+1)+log₄4^(-x/2)=log₄[(4^x+1)×4^(-x/2)]=log₄[4^(x/2)+4^(-x/2)]=g(x)=log₄[a×2^x-(4/3)a]故有 4^(x/2)+4^(-x/2)=a×2^x-(4/3)a即有 2^x+2^(-x)=a×2^x-(4/3)a去分母得 2^(2x)+1=a×2^(2x)-(4/3)a×2^x(1-a)×2^(2x)+(4/3)a×2^x+1=0令2^x=u,则有 (1-a)u²+(4/3)au+1=0.(1)为使f(x)与g(x)有且只有一个公共点,(1)的判别式必须等于0,即△=(16/9)a²-4(1-a)=(16/9)a²+4a-4=0,故得4a²+9a-9=(4a-3)(a+3)=0于是得a=3/4或a=-3..======以下答案可供参考======供参考答案1:（1）f(x)=log4(4^x+1)+kx (k∈R)是偶函数.于是f(x)=f(-x)log4(4^x+1)+kx =log4[4^（-x）+1]-kx log4[（4^-x+1）/(4^x+1)]=2kx（4^-x+1）/(4^x+1)=4^(2kx)4^-x=4^(2kx)2kx=-x,k=-1/2（2）log4(a×2^x-4/3a)=log4(4^x+1)-x/2 于是4^x+1=4^(x/2) [a×2^x-4/3a]4^x+1=a·4^x -2^x·4/3aa=1

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