是否存在这样的正整数n使得3n^2+7n-1能整除n^3+n^2+n+1？请说明理由。

是否存在这样的正整数n使得3n^2+7n-1能整除n^3+n^2+n+1？请说明理由。

若3n²+7n-1 | n³+n²+n+1, 则3n²+7n-1 | 9n³+9n²+9n+9.
又3n²+7n-1 | (3n-4)(3n²+7n-1) = 9n³+9n²-31n+4.
于是3n²+7n-1 | 9n³+9n²+9n+9-(3n-4)(3n²+7n-1) = 40n+5.
由n是正整数, 有3n²+7n-1 > 0, 40n+5 > 0, 于是由3n²+7n-1｜40n+5得3n²+7n-1 ≤ 40n+5.
即n²-11n-2 ≤ 0, 满足该不等式的正整数只有1, 2,..., 11.
接下来只要对n = 1, 2, ..., 11逐一验证.

为了减小计算量, 我们可以再分析一步.
注意到n²-11n-2 = 0没有整数解, 即3n²+7n-1 = 40n+5不能成立.
于是由3n²+7n-1｜40n+5得2(3n²+7n-1) ≤ 40n+5, 即6n²-26n-7 ≤ 0.
满足该不等式的正整数只有1, 2, 3, 4.
只要对n = 1, 2, 3, 4逐一验证.
n = 1时, 3n²+7n-1 = 9, 不整除n³+n²+n+1 = 4.
n = 2时, 3n²+7n-1 = 25, 不整除n³+n²+n+1 = 15.
n = 3时, 3n²+7n-1 = 47, 不整除n³+n²+n+1 = 40.
n = 4时, 3n²+7n-1 = 75, 不整除n³+n²+n+1 = 85.

因此不存在正整数n使3n²+7n-1 | n³+n²+n+1.

也许是的。

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